Вопрос 29 Монотонные функции

Определение. Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными.

Понятие обратной функции

Пусть функция задана на отрезке , и пусть множеством значений этой функции является отрезок . Пусть каждому значению из отрезка ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение из отрезка , для которого . Тогда на отрезке можно определить функцию , ставя в соответствие каждому из отрезка , то значение из отрезка , для которого . Функция называется обратной для функции .

В этом определении вместо отрезков и можно рассматривать интервалы и или считать, что один или оба интервала превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую , .

Заметим, что если — обратная функция для функции , то функция — обратная функция для функции . Функции и называются взаимно обратными.

Взаимно обратные функции обладают следующими очевидными свойствами:

,

.

Пример. Рассмотрим на полупрямой функцию . Областью значений этой функции является полупрямая . каждому поставим в соответствие по формуле единственное значение . Тогда . Следовательно, является обратной для функции .

Пример. Рассмотрим на отрезке функцию . Областью значений этой функции является отрезок . Обозначим через угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен . Тогда функция будет обратной к данной. Действительно, .

Пример. Рассмотрим на отрезке функцию

Функция

определенная на отрезке , будет обратной к данной. Действительно, если — рациональное число, то и , если — иррациональное число, то и .

Заметим, что при записи обратной функции независимую переменную нередко обозначают , а значение функции , то есть пишут . Например, — функция обратная для функции . Функция — функция обратная для функции .

Теорема. Пусть на отрезке задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция , и пусть и . Тогда эта функция имеет на отрезке ( ) возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию .

Доказательство смотри в [1], глава 4, § 4, п. 2.

Вопрос 30 Понятие непрерывности функции

Пусть функция определена в точке и любая -окрестность точки содержит отличные от точки области задания этой функции.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , то есть, если

. (1)

Поскольку , то равенство (1) можно представить в виде

.

Следовательно, для непрерывной функции знак предела можно вносить под знак функции.

Определение. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке , если правое (левое) предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению .

Заметим, что если правое и левое предельные значения в точке существуют и

,

то предельное значение в точке также существует и равно . Следовательно, если функция непрерывна в точке справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Определение. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Ранее мы доказали, что для любого вещественного числа , , , , где — алгебраический многочлен порядка . Следовательно, функции , , , являются непрерывными на всей числовой оси. Функция имеет разрыв в точке , так как она не определена в данной точке.