Вопрос 18 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке (при ), если ее предельное значение в этой точке (при ) равно нулю.

Заметим, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то функция является бесконечно малой в точке (при ). Отсюда следует, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то ее можно представить в виде , где — бесконечно малая функция в точке (при ).

Пример. Функция является бесконечно малой в точке . Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность . По определению предела функции имеем

.

Определение (по Гейне). Функция называется бесконечно большой в точке справа (слева), если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , все элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью определенного знака.

Если Функция является бесконечно большой в точке справа (слева), то ее предел считают равным или .

Пример. Функция является бесконечно большой в точке справа и слева. Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность ( ). Тогда последовательность — бесконечно малая, а последовательность — бесконечно большая. Причем , если , и , если . Следовательно, , а .

Определение (по Коши). Функция называется бесконечно большой в точке справа (слева), если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что при всех значениях аргумента , удовлетворяющих неравенству ( ), значения функции имеют определенный знак и справедливо неравенство .

Дадим теперь определение бесконечно большой функции при .

Определение (по Гейне). Функция называется бесконечно большой при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью определенного знака.

Определение (по Коши). Функция называется бесконечно большой при ( ), если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что при всех значениях аргумента , удовлетворяющих неравенству ( ), значения функции имеют определенный знак и справедливо неравенство .

Пример. Функция является бесконечно большой при . Докажем это утверждение, используя определение по Коши. Возьмем произвольное положительное число и определим из условия . Выберем равным . Тогда для всех больших справедливы неравенства . Следовательно, .

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Пусть и — две бесконечно малые в точке функции, определенные на одном и том же множестве.

1. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем , если . В этом случае используют символическую запись , которая читается следующим образом: равно малое от .

2. Функции и называется бесконечно малыми одного порядка, если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.

3. Функции и называется эквивалентными бесконечно малыми, если . Для обозначения эквивалентности используют символ ~. Запись читается: функция эквивалентна функции .

4. Функция называется бесконечно малой порядка относительно , если в точке существует конечный предел отношения , отличный от нуля.

Аналогичным образом сравнивают и бесконечно большие функции. Пусть и — две бесконечно большие в точке справа (либо слева) функции одного знака.

1. Функция называется бесконечно большой более высокого порядка, чем , если их отношение является бесконечно большой в точке функцией справа (слева).

2. Функции и называется бесконечно большими одного порядка, если в точке существует конечный правый (левый) предел отношения , отличный от нуля.

3. Функции и называется эквивалентными бесконечно большими, если .

4. Функция называется бесконечно большой порядка относительно , если в точке существует конечный правый (левый) предел отношения , отличный от нуля.