Первое определение предела функции

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , за исключением может быть самой точки .

Определение (Гейне). Число называется предельным значением функции в точке или пределом функции при , стремящемся к , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , все элементы которой отличны от , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Если число является предельным значением функции в точке , то пишут

.

Пример. Рассмотрим функцию . Она имеет предельное значение в любой точке числовой прямой, равное . Действительно, для любой сходящейся к последовательности все элементы соответствующей последовательности значений функции равны с. Поскольку последовательность сходится к , то .

Пример. Найдем предельное значение функции в точке . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к ( ). Тогда

,

то есть соответствующая последовательность значений функции сходится к . Следовательно .

Пример. Покажем, что функция не имеет предельного значения в точке . Рассмотрим две последовательности и . Очевидно, что обе эти последовательности сходятся к нулю. Последовательность значений функции, соответствующая последовательности , сходится к 0, а последовательность значений функции, соответствующая последовательности , сходится к 1. Поскольку , то рассматриваемая функция не имеет предела при .

Второе определение предела функции

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , за исключением может быть самой точки .

Определение (Коши). Число называется предельным значением функции в точке или пределом функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

.

Ограничение , означает, что .

Теорема. Первое и второе определения предельного значения функции в точке равносильны.

Доказательство. Пусть справедливо первое определение предельного значения функции. Тогда функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , и для любой сходящейся к последовательности , все элементы которой отличны от , существует предел последовательности , равный .

Допустим, что условия, сформулированные во втором определении не выполняются, то есть существует такое положительное число , что для любого положительного числа найдется такой, что , а . Возьмем последовательность . Тогда из предыдущего утверждения следует , что для каждого найдется такой, что

, (1)

а . Поскольку последовательность бесконечно малая, то из неравенства (1) следует, что и последовательность является бесконечно малой, то есть последовательность сходится к . Однако так как , то последовательность не имеет предела, что противоречит первому определению предельного значения функции в точке. Следовательно, наше предположение, что условия во втором определении не выполняются, оказалось неверным. Итак, мы доказали, что если справедливо первое определение предельного значения функции в точке, то справедливо и второе.

Пусть справедливо второе определение предельного значения функции в точке. Возьмем произвольную сходящуюся к последовательность , все элементы которой отличны от , и докажем, что существует предел последовательности , равный . Зафиксируем положительное число . Согласно второму определению найдется такое положительное , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Поскольку последовательность сходится к , то найдется номер такой, что при всех номерах справедливо неравенство . Тогда из второго определения следует, что , для всех . Значит предел последовательности равен .

Равносильность первого и второго определений предельного значения функции в точке доказана.

Пример. Докажем, используя второе определение предельного значения функции в точке, что ( ).

Возьмем произвольное положительное число . Из очевидного неравенства

следует, что если , то . Следовательно, для любого положительного числа , найдется положительное число , такое что для всех , удовлетворяющих неравенству .