Вопрос 11 Подпоследовательности числовых последовательностей

Пусть — некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел Выберем из последовательности элементы с номерами и расположим их в таком же порядке, как и числа . Полученная последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Иначе говоря, если дана какая-то последовательность и из некоторого подмножества ее элементов образована новая последовательность, то она называется подпоследовательностью данной последовательности, если порядок следования в ней элементов такой же, как и в исходной последовательности.

Так последовательность 1, 3, …, , … является, а последовательность 2, 1, 3, …, , … не является подпоследовательностью последовательности 1, 2, 3, …, , … В обоих случаях последовательности образованы из элементов последовательности 1, 2, 3, …, , …, но во второй последовательности порядок следования элементов нарушен.

Заметим, что сама последовательность может рассматриваться как подпоследовательность. В этом случае .

Рассмотрим некоторые свойства подпоследовательностей.

Свойство 1. Если последовательность сходится и имеет своим пределом число , то и любая подпоследовательность данной последовательности сходится и имеет пределом число .

Свойство 2. Если все подпоследовательности данной последовательности сходятся, то пределы всех подпоследовательностей равны одному и тому же числу.

Свойство 3. Если последовательность является бесконечно большой, то и любая подпоследовательность данной последовательности также бесконечно большая.

Действительно, так как — бесконечно большая последовательность, то для любого положительного числа можно указать такой номер , что при всех справедливо неравенство . Рассмотрим произвольную подпоследовательность . Поскольку , то, начиная с номера все элементы подпоследовательности удовлетворяют неравенству . Следовательно, подпоследовательность является бесконечно большой.

Предельные точки последовательности

Определение 1. Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности .

Определение 2. Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выделить сходящуюся к подпоследовательность.

Заметим, что если некоторая подпоследовательность последовательности сходится к , то в любой -окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов подпоследовательности, а стало быть и самой последовательности. То есть из определения 2 следует определение 1.

Предельные точки называют также частичными пределами последовательности.

Пример. Найти все предельные точки последовательности .

Данная последовательность — это последовательность

, 3, , 3, …

Выделим из нее две подпоследовательности и . Очевидно, что , а . По определению 2 последовательность имеет, по крайней мере, две предельные точки: 1/3 и 3. Покажем, что других предельных точек у данной последовательности нет. Пусть — произвольная точка числовой оси, отличная от 1/3 и 3. Выберем число достаточно малым для того, чтобы -окрестности точек , 1/3 и 3 не пересекались. Тогда все элементы последовательности находятся в -окрестности точек, 1/3 и 3, а в -окрестности точки нет ни одного элемента. Согласно определению 1 точка не является предельной точкой.

Определение. Наибольшая предельная точка (наибольший частичный предел) последовательности называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом . Наименьшая предельная точка (наименьший частичный предел) последовательности называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом .

Теорема. У всякой ограниченной последовательности есть хотя бы одна предельная точка.

Теорема Больцано–Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.