Вопрос 43 Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Пусть, кроме того, . Тогда внутри отрезка найдется точка такая, что значение производной в этой точке равно нулю.

Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки .

Определение. Точка называется точкой локального максимума, если найдется -окрестность точки , в пределах которой значение является наибольшим, то есть для любого из интервала справедливо неравенство .

Определение. Точка называется точкой локального минимума, если найдется -окрестность точки , в пределах которой значение является наименьшим, то есть для любого из интервала справедливо неравенство .

Если — точка локального минимума или максимума, то говорят, что функция имеет в этой точке локальный минимум или локальный максимум.

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

Если в некоторой окрестности точки имеет место строгое неравенство ( ), то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума).

Вопрос 44

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется точка такая, что справедлива формула

.

Эту формулу называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Теорема (о постоянстве функции, имеющей на интервале равную нулю производную). Если функция дифференцируема на интервале и если всюду на этом интервале , то функция является постоянной на интервале .

Доказательства теорем смотри в [1].

Вопрос 45 Обобщенная формула конечных приращений

Теорема Коши. Если каждая из функций и непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и если, кроме того, производная отлична от нуля всюду внутри отрезка , то внутри отрезка найдется точка такая, что справедлива формула

.

Эта формула называется обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.

Доказательство теоремы смотри в [1].

Вопрос 46

Теорема (правило 1) Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функции и определены и дифференцируемы в –окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть, кроме этого, в указанных точках , а также

и .

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует предел

и справедливо равенство

.

Теорема (правило 2) Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функции и определены и дифференцируемы в –окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть, кроме этого, в указанных точках , а также

и .

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

,

то существует предел

и справедливо равенство

.