I. Разрыв первого рода.
1. Допустим, что в точке функция имеет равные (конечные) односторонние пределы, которые не равны значению функции в точке , т.е.
.
В этом случае точка называется точкой устранимого разрыва.
Если функцию доопределить значением
равным односторонним пределам или
изменить ее значение на такое, то разрыв
устраняется и функция становиться
непрерывной.
2. Допустим, что в точке существуют конечные неравные односторонние пределы:
,
,
.
В этом случае точка
называется точкой конечного разрыва.
Величина
называется скачком функции в
точке разрыва.
Такой разрыв устранить невозможно, т.к. нарушено условие того, что это график функции.
II. Разрыв второго рода.
1. Допустим, что в точке
хотя бы один односторонний предел равен
бесконечности. Такой разрыв называется
бесконечным скачком и в этом
случае прямая
– вертикальная асимптота.
2. Допустим, что в точке предел вообще не определен. Такой разрыв – неопределенный.
Например,
.
30. Непрерывность функции на промежутке
Определение 1. Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Если концевая точка входит в промежуток, то непрерывность в ней понимаем как одностороннюю.
Дадим третье определение непрерывности в точке, которое будем использовать при доказательстве теоремы.
Допустим, что функция
определена в точке
и некоторой ее окрестности. Рассмотрим
точку
из этой окрестности и приращение функции
.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и
.
(1)
Равенство (1) означает, что бесконечно малое изменение аргумента непрерывной функции влечет за собой бесконечно малое изменение самой функции.
Теорема 1. Всякая элементарная функция является непрерывной в области ее определения.
Доказательство. К элементарным
функциям относятся:
;
;
;
;
;
;
и др. тригонометрические функции;
и др. обратные тригонометрические
функции;
;
;
и др. гиперболические функции. А также
их линейные комбинации и сложные функции,
образованные на их основе.
Докажем непрерывность функции
для
.
Используем определение 2.
Рассмотрим
,
где
произвольная
фиксированная точка.
Тогда
,
т.к.
(БМФ) и
(ограниченная).
Аналогично для остальных функций.
Особое значение имеет непрерывность функции на отрезке. В этом случае можно доказать следующую теорему.
Теорема 2 (Вейерштрасса).
Непрерывная на отрезке
функция достигает на этом отрезке хотя
бы один раз своего наибольшего и
наименьшего значения.
Обозначают:
,
.
Наибольшее значение функции – глобальный максимум, наименьшее значение функции – глобальный минимум.
С помощью понятия непрерывности функции можно определить также условия существования обратной функции.
Теорема 3. Если функция определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке существует для нее обратная функция, которая также является строго монотонной и непрерывной на своей области определения.