II. Достаточность.
Пусть существуют пределы (2). Рассмотрим
второй из них. По свойству предела
функции существует бесконечно малая
величина
такая, что
,
где
.
Получаем:
.
Это и есть определение наклонной асимптоты.
Тема 2. Непрерывность функции
10. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций
Определение. Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если
.
(1)
Понятие непрерывности функции в точке определено через понятие предела. Отличием от понятия предела является то, что требуется, чтобы функция была определена в самой точке. Кроме того, само значение предела при условии непрерывности должно совпадать со значением функции в точке. Поскольку в определении непрерывности используется предел, то основные свойства функций, имеющих предел, переносятся на непрерывность функции.
Свойства функций, непрерывных в точке:
1. Функция, непрерывная в точке, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
2. Если функции и непрерывны в некоторой точке , то непрерывными являются также функции:
;
;
;
,
.
3. Если функция
непрерывна в точке
и
(
),
то существует некоторая окрестность
точки
,
в которой
(
).
4. Если
и
непрерывны в некоторой точке
и
,
то существует некоторая окрестность
точки
,
в которой
.
5. Если функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
,
где
,
то сложная функция
непрерывна в точке
.
6. Если для сложной функции выполняются условия ее непрерывности (5), то справедлива формула
.
(2)
Замечание 1. Свойства 3 и 4 означают, что некоторые особенности непрерывности функции в точке продолжаются на окрестность точки (продолжаются по непрерывности).
Замечание 2. Формула 2 означает, что
для непрерывности функции в точке
операции нахождения предела и функции
переставимы (можно изменять их порядок).
Этим пользуются при вычислении пределов.
Например:
.
20. Классификация точек разрыва функции
Кроме непрерывности функции в точке рассматривают также одностороннюю непрерывность.
Определение 1. Функция непрерывна слева в точке , если определена в этой точке и некоторой левой полуокрестности точки и
.
(1)
Определение 2. Функция непрерывна справа в точке , если она определена в этой точке и некоторой правой полуокрестности этой точки и
.
(2)
Непрерывность, описанная определениями 1 и 2 называется односторонней непрерывностью функции в точке.
Определение 3. Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если
Если нарушается хотя бы одно условие определения 3, то функция имеет разрыв в точке .
В зависимости от того, какое условие определения 3 нарушено, дают классификацию точек разрыва: