50. Эквивалентность бесконечно малых функций
Определение. Функции и , которые определены в окрестности точки , называются эквивалентными при , если выполняется
.
(1)
Обозначается:
(2)
Теорема. Если функции и эквивалентны при , то
.
(3)
Доказательство.
.
Доказательство теоремы показывает, что под знаком предела можно заменять функцию на эквивалентную ей (более простую) в произведении. Теорема справедлива и когда для эквивалентных функций на бесконечности.
Особое значение при таком подходе для практики имеют эквивалентности, которые получаем на основе замечательных пределов.
Таблица эквивалентных БМФ
Пусть
(БМФ) при
.
Тогда верны формулы:
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
.
60. Односторонние пределы
В качестве предела функции в точке
ввели число
,
которое не зависит от способа стремления
аргумента
к числу
.
В определении предела по Гейне было
указано, что число
является пределом, если выбирается
любая последовательность
,
сходящаяся к
.
Рассмотрим следующие ситуации.
Определение 1. Если
стремится к пределу
при условии
то
– называется левосторонним
пределом функции
:
.
(1)
Определение 2. Если
стремится к пределу
при условии
то
называется правосторонним
пределом функции
:
.
(2)
Левосторонний и правосторонний пределы называются односторонними. Они определяются при ограничении на стремление аргумента к числу только слева или только справа.
Из определения предела и односторонних пределов приходим к справедливости следующего утверждения:
Если функция имеет предел в точке , равный числу , то она имеет также односторонние пределы в этой точке, равные , т.е.
.
Можно доказать обратное утверждение.
Теорема. Если функция имеет в точке равные односторонние пределы, равные числу , то в этой точке она также имеет предел, равный числу .
Если односторонние пределы рассматривать в точке , то их обозначают
и
.
70. Асимптоты
Частой является ситуация, когда график функции бесконечно близко подходит к некоторой фиксированной прямой.
Определение 1. Прямая
называется асимптотой графика функции
,
если расстояние между точкой
графика и прямой
стремится к нулю при условии
.
Асимптоты изображают, как правило, штриховой линией.
Выделяют горизонтальную, вертикальную и наклонную асимптоты.
Определение 2. Прямая
называется горизонтальной асимптотой
графика функции
, если
.
Например:
,
.
График этой функции имеет две горизонтальные
асимптоты
и
.
Определение 3. Прямая
называется вертикальной асимптотой
графика функции
,
если
или
.
Например:
,
т.е.
вертикальная
асимптота.
Определение 4. Прямая
,
называется наклонной асимптотой
графика функции
,
если
(1)
где
(БМФ).
Для того, чтобы найти наклонную асимптоту используют следующую теорему.
Теорема. Прямая – наклонная асимптота графика функции тогда и только тогда, когда
(2)
Доказательство.
I. Необходимость. Пусть – наклонная асимптота. Тогда по определению выполняется (1). Значит:
Первое равенство из (2) выполняется.
.