20. Свойства функций, имеющих предел
Теорема 1. Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный.
Теорема 2. Если функция имеет предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Теорема 3. Если функция
имеет предел
в точке
,
то существует проколотая окрестность
точки, в которой функция
имеет знак, совпадающий со знаком
предела
.
Теорема 4. Если
и в некоторой проколотой окрестности
точки
имеют место неравенства
,
то
.
Теорема 5. Пусть функции
и
имеют предел в точке
.
Тогда справедливы формулы:
1)
,
где С=const;
2)
3)
4)
Замечание 1. Формулы суммы и произведения обобщаются на любое конечное число множителей. Если использовать их для бесконечного количества множителей, то может возникнуть ошибка.
Замечание 2. Если в результате применения формул 1) – 4) приходим к выражениям типа
которые называют неопределенностями, то следует вначале устранить неопределенность, сделав тождественные преобразования.
30. Замечательные пределы
Пусть
при
.
1. Первый замечательный предел .
Следствия:
;
.
2. Второй замечательный предел
или
.
Следствия:
; 
.
; 
; 
; 
;
; 
;
; 
; 
; 
40. Бесконечно малые функции (бмф)
Определение 1. Функция
- бесконечно малая при
(или
),
если
(1)
Для бесконечно малых функций справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если
–
бесконечно малые функции при
,
то бесконечно малыми являются также:
1)
;
(2)
2)
.
Доказательство. 1) т.к. функции
бесконечно малые, то по определению
.
Рассмотрим предел суммы (2):
.
2) аналогично.
Примечание. Условие теоремы 1 указывает, что количество БМФ произвольное, но конечное. Если рассматривать бесконечное количество функций, то их сумма и произведение уже могут не быть бесконечно малой функцией.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции при и ограниченной функции является бесконечно малой функцией при .
Теорема 3. Для того, чтобы число А было пределом функции в точке необходимо и достаточно, чтобы
,
(3)
где
бесконечно
малая функция при
.
Доказательство. I. Необходимость. Пусть . Докажем, что выполняется равенство (3). Обозначим
(4)
Докажем, что бесконечно малая функция при . Вычислим предел
.
Доказали, что БМФ. Из (4) получаем (3).
II. Достаточность. Допустим, что выполняется равенство (3). Докажем, что в таком случае .
Вычислим предел:
.