Сложение колебаний одного направления.
Пусть груз, закрепленный на потолке вагона, совершает колебания по закону:
(36)
Колебания вагона совершаются по закону:
(37)
Изобразим оба колебания с помощью векторной диаграммы:
Из рисунка амплитуда результирующего колебания равна:
(36)
(37)
Н
ачальная
фаза результирующего гармонического
колебания
равна:
(38)
Вывод: из уравнения (37) следует, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.
Представление колебаний в комплексном виде.
Для
примера возьмем два уравнения для
координат:
и
.
Согласно принципу суперпозиции эти уравнения можно представить в виде их композиции, т.е. у.
,
(39)
где
и
-
некоторые постоянные, которые могут
быть комплексными.
Например:
и
,
тогда
(40)
Используя формулу Эйлера:
,
(41)
Получаем
(42)
|
- уравнение гармонических колебаний в комплексном виде
|
Уравнение гармонических колебаний в комплексном виде широка используется в теории колебаний, облегчает расчеты электрических цепей.
Энергия колебательной системы:
кинетическая энергия (
):
В колебаниях любых систем происходит непрерывное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Например при колебаниях М.М. и Ф.М.
Кинетическая энергия системы, совершающей гармонические колебания, равна:
,
(43)
где скорость изменяется по гармоническому закону:
(44)
После подстановки, имеем:
(45)
Если
учесть, что
(46)
и
,
кинетическая энергия будет равна:
(47)
Согласно
формулам приведения:
,
получим
(48)
Вывод:
физической системы совершает гармонические
колебания с круговой частотой
,
а величина ее периодически изменяется
от 0 до
.
потенциальная энергия (
);
Любая физическая система совершает гармонические колебания под действием квазиупругой силы, потенциальную энергию можно найти по формуле потенциальной энергии упруго-деформированного тела:
(49)
т.к.
,
то подставляя, получаем:
(50)
Т.к.
,
то
,
тогда
(51)
Если
учесть, что
(52)
и , потенциальная энергия будет равна:
(53)
(54)
Вывод:
физической системы совершает гармонические
колебания с круговой частотой
,
а величина ее периодически изменяется
от 0 до
.
полная энергия гармонических колебаний (
);
По определению полная механическая энергия системы равна алгебраической сумме кинетической и потенциальной энергий:
(55)
Т.к. и , то
(56)
(57)
Вывод:
механической системы прямо
пропорциональна
и не зависит от времени.