11)Вычисление определителей второго, третьего и высшего порядков
1. Матрица второго порядка. Ее определитель вычисляется по формуле а11*а22 – а12*а21, то есть определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
2. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилу треугольника.
3. Определитель матрицы высших порядков, то есть таких, где n больше или равно 4.
Теорема о разложении определителя: Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.
Алгебраическое дополнение элемента aij задается выражением: Aij=(-1)i+j*Mij, где Mij – это определитель матрицы, который получается из матрицы после вычеркивания итой строки и житого столбца.
Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.
Теорема Лапласа для высших порядков
Выделим в det A произвольные строки с номерами . Образуем всевозможные миноры k-го порядка с элементами из этих строк. Домножим эти миноры на их алгебраические дополнения в det A. Тогда величина det A равна сумме таких произведений по всем возможным выборкам k элементов.
Свойства определителя:
«Равноправность строк и столбцов». Определитель не изменится если его строки заменить столбцами и наоборот.
При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю.
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если один ряд пропорционален другому, то определитель равен нулю.
Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
«Элементарные преобразования определителя». Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
«Разложение определителя по элементам некоторого ряда». Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда, на соответствующие им алгебраические дополнения.
«Разложение определителя по элементам некоторого ряда». Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие ему алгебраические дополнения.
Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
12)Понятие обратной матрицы. Т. О существовании и нахождении обратной матрицы
Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы.
Матрица
порядка n
называется вырожденной, если ее ранг
r
Матрица
называется обратной по отношению к
матрице А, если их произведение равно
единичной матрице А
=
Для вырожденной матр не существует обратной матрицы.
ТЕОРЕМА: Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
Доказательство.
1) Необходимость:
так как 
то 
(теорема
3.1), поэтому 
2) Достаточность:
зададим матрицу 
в
следующем виде:
.
Тогда
любой элемент произведения 
(или 
),
не лежащий на главной диагонали, равен
сумме произведений элементов одной
строки (или столбца) матрицы А на
алгебраические дополнения к элементам
друго столбца и, следовательно, равен
0 (как определитель с двумя равными
столбцами). Элементы, стоящие на главной
диагонали, равны 
Таким
образом,
=
.
Теорема доказана.