Преобразования кс-грамматик

Рассмотрим ряд преобразований, позволяющих "улучшить" вид контекстно-свободной грамматики без изменения порождаемого ею языка.

Назовем символ недостижимым в КС- грамматике G = (N, T, P, S), если X не появляется ни в одной выводимой цепочке этой грамматики. Иными словами, символ X является недостижимым, если в G не существует вывода ни для каких .

Назовем символ несводимым (бесплодным) в той же грамматике, если в ней не существует вывода вида X =>^* xwy, где w, x, y принадлежат T^*.

Очевидно, что каждый недостижимый и/или несводимый символ является бесполезным, как и все правила, его содержащие.

При внимательном изучении вышеприведенных определений становится понятным, что а) целесообразно искать не непосредственно сами недостижимые (или несводимые) символы, а последовательно определять множество достижимых (или сводимых) символов, начиная с тех, которые по определению являются достижимыми (аксиома) и сводимыми (терминалы) - все остальные символы оказываются бесполезными, б) одновременное определение достижимых и сводимых символов невозможно, так как соответствующие процессы идут в противоположных направлениях (от корня к листьям и наоборот).

Алгоритм 4.1. Устранение недостижимых символов.

Вход. КС-грамматика G = (N, T, P, S).

Выход. КС-грамматика G' = (N', T', P', S) без недостижимых символов, такая, что L(G') = L(G).

Метод. Выполнить шаги 1-4:

(1) Положить V₀ = {S} и i = 1,

(2) Положить V_i = {X | в P есть и ,

(3) Если , положить i = i + 1 и перейти к шагу 2, в противном случае перейти к шагу 4,

(4) Положить . Включить в P' все правила из P, содержащие только символы из V_i.

Алгоритм 4.2. Устранение несводимых символов.

Вход. КС-грамматика G = (N, T, P, S).

Выход. КС-грамматика G' = (N', T', P', S) без несводимых символов, такая, что L(G') = L(G).

Метод. Выполнить шаги 1-4:

(1) Положить N' = T и i = 1,

(2) Положить ,

(3) Если , положить i = i + 1 и перейти к шагу 2, в противном случае положить N_e = N_i и перейти к шагу 4,

(4) Положить , где P₁ состоит из правил множества P, содержащих только символы из ,

Чтобы устранить все бесполезные символы, необходимо применить к исходной грамматике сначала Алгоритм 4.2, а затем Алгоритм 4.1.

Пример. Все символы следующей грамматики

S -> AS | b

A -> AB

B -> a

являются достижимыми. Поэтому нарушение предложенного порядка применения к ней алгоритмов приведет лишь к частичному решению задачи.

КС-грамматика без бесполезных символов называется приведенной. Легко видеть, что для любой КС-грамматики существует эквивалентная приведенная. В дальнейшем будем предполагать, что все рассматривамые грамматики - приведенные.

.2. Устранение эпсилон-правил

Теорема. Пусть язык является контекстно-свободным. Тогда язык порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой без - правил.

Доказательство. Пусть дана контекстно-свободная грамматика , порождающая язык L. Проведем серию преобразований множества P.

Если для каких-то , , и множество P содержит правила и , но не содержит правила , то добавим это правило в P. Повторяем эту процедуру, пока возможно.

Теперь исключим из множества P все правила вида . Полученная грамматика порождает язык .

Пример 8.2.2. Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

Язык порождается грамматикой