2. Представление данных в вычислительных системах. Фиксированная и плавающая точка.

Позиционная система счисления - система, где вес цифры зависит от ее положения в числе.

Другое определение: Позиционная система счисления (позиционная нумерация) - система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

В общем виде число в позиционной системе можно записать в виде:

С=a_n*A^(n-1) + a_n-1*A^(n-2) +… + a₂*A¹ +) + a₁*A⁰ , где ai – значение цифры в i-м разряде; А – основание системы.

Системы называются по значению основания:

А) Наиболее распространенной в человеческой практике является десятичная система, где основание А=10, используемые цифры, т.е. значение ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Б) Наиболее распространенной в вычислительной технике является двоичная система:

основание А=2, используемые цифры, т.е. значение ai = 0, 1.

В) В восьмеричной системе: основание А=8, используемые цифры, т.е. значение ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

В вычислительной технике также находят применение восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Восьмеричную и шестнадцатеричную системы являются производными от двоичной и служат для более компактной и удобной для человека записи двоичных чисел.

Г) В шестнадцатеричной системе: основание А=16, используемые цифры, т.е. значение ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

ПРИМЕРЫ:

1) Число записанное в 10-й системе как 383 в других системах выглядит так:

- в двоичной системе: 101111111;

- в восьмеричной системе: 577, получается из двоичной путем группировки триадами, начиная с младшего разряда 101 111 111 и отображения значения триады соответствующей восьмеричной цифрой;

- в шестнадцатитичной системе: 17F, получается из двоичной путем группировки тетрадами, начиная с младшего разряда 1 0111 1111 и отображения значения тетрады соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

2) Перевод целого числа из десятичной системы в двоичную осуществляется

делением на 2:

383/2 остаток 1 - младший бит

191/2 остаток 1

95/2 остаток 1

47/2 остаток 1

23/2 остаток 1

11/2 остаток 1

5/2 остаток 1

2/2 остаток 0

1 - старший бит

=101111111

3) Перевод дробного числа из десятичной системы в двоичную осуществляется умножением на 2:

0,65 * 2 = 1,3 целая часть 1 - старший бит

0,3 * 2 = 0,6 целая часть 0

0,6 * 2 = 1,2 целая часть 1

0,2 * 2 = 0,4 целая часть 0

0,4* 2 = 0,8 целая часть 0

0,8 * 2 = 1,6 целая часть 1

0,6 * 2 = 1,2 целая часть 1 - младший бит

=0,1010011

Форма представления чисел с плавающей точкой:

В десятичной системе:

1,517*10³ или 15,17*10² или 151,7*10¹ или 15170*10-1

То же в двоичной системе, например, 10010101* 2^-101

В общем виде: С=µ*2^Е, где:

µ- мантисса – вещественное число со знаком, представленное в форме с фиксированной точкой ( также должен учитываться знак мантиссы, + или - ); Е- порядок – вещественное число со знаком; 2 – основание системы счисления.

Распространено представление чисел с плавающей точкой в стандарте IEEE 754:

С= (-1)^S*2^e*1,f, где:

S – знак: («+» - S=0; «-» - S=1) ;

1,f - мантисса – вещественное число со знаком, представленное в форме с фиксированной точкой( также должен учитываться знак мантиссы, + или - );

e- смещенный на константу порядок Е, так, чтобы е было положительным числом

Е- порядок – вещественное число со знаком;

2 – основание системы счисления.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

1. Число с фиксированной точкой (запятой) — формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой

, где z — цена (вес) младшего разряда.

Простейший пример арифметики с фиксированной запятой — перевод рублей в копейки. В таком случае, чтобы запомнить сумму 12 рублей 34 копейки, мы записываем в ячейку памяти число 1234.

В случае, если  , для удобства расчётов делают, чтобы целые числа кодировались без погрешности. Другими словами, выбирают целое число u (машинную единицу) и принимают  . В случае, если  , его делают целым.

2. Число с плавающей точкой (запятой) — форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.