Методические указания ВСМ

При автоматизации экспериментальных исследований, проектировании,

производстве различных изделий аппарат математической статистики и теории случайных процессов является базой для их планирования и организа-

ции. При этом особое значение приобретают методы обработки экспериментальных данных, проверка правдоподобия статистических гипотез, метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), исследование взаимосвязи (корреляции) между различными случайными явлениями, аналитиче-

ское описание полученных экспериментальных зависимостей, анализ случайных процессов.

Решение таких задач связано с громоздкостью и неоправданными временными затратами. Современное развитие информационных технологий диктует применение таких пакетов прикладных программ, как MATLAB.

MATLAB – это программный продукт компании «TheMathWorks, Inc.» [MathWorks], предназначенный для инженерных, научных и прикладных вычислений, а также визуализации и анализа их результатов.

В пакет MATLAB входит множество численных методов, операторов графического представления результатов, средства создания диалогов, с по-

мощью которых пользователю предоставляется возможность загрузить и предобработать данные, запустить алгоритмы анализа, визуализировать ре-

зультат, составить отчет об экспериментах и получить исполняемый файл, который проводит нужные операции над этими данными. Отличительной особенностью данного пакета по сравнению с обычными языками программирования является матричное представление данных и большие возможно-

сти матричных операций над данными.

При работе над методическими указаниями были использованы мате-

риалы бакалаврских выпускных работ студентов гр. 8586 Е. А. Николаевой, О. А. Кривохвост, А. А. Жогина, А. Ю. Мефодьева.

Начало работы с MATLAB

Запуск MATLAB осуществляется с рабочего стола: нажатием на иконку

или из перечня программ кнопки «Пуск». После запуска на экране появляется основное окно приложения (рис. 1), которое содержит:

панель инструментов с кнопками и раскрывающимися списками;

окно Current Directory, отображающее текущую директорию. В этой директории система MATLAB отображает файлы открытых и создаваемых

3

данных, ищет их во всех каталогах, перечисленных в списке, доступном че-

рез меню File / SetPath... (его можно изменить вручную или пополнить командой addpath). В верней части основного окна MATLAB есть специальный компонент для выбора текущей директории (также для смены текущей директории можно использовать команду cd),

командное окно Command Window, в котором вводятся команды и отображаются результаты их выполнения, предназначенные для просмотра и повторного вызова ранее введенных команд, а также для установки текущего каталога;

окно с вкладками Workspace, из которого можно получить доступ к различным модулям ToolBox и к содержимому рабочей среды. В этом окне отображаются все переменные, которые использует система в процессе сеанса работы. Используется, когда не требуется промежуточный вывод резуль-

татов, который может занять много времени или просто не нужен;

 окно с вкладками Command History, в котором отображаются все ко-

манды, которые запускали на исполнение вводом в командном окне;  строку состояния.

Рис. 1

Признаком готовности системы к выполнению команды является нали-

чие знака приглашения «>>» в окне Command Window, после которого расположен активный курсор. Рабочую область со знаком приглашения обычно называют командной строкой. Ввод команд осуществляется с клавиатуры. Нажатие клавиши Enter заставляет систему выполнить команду и вывести результат.

4

Клавиши «Стрелка вверх» ↑ и «Стрелка вниз» ↓ управляют курсором, в MATLAB эти клавиши позволяют вернуть в командную строку ранее вве-

денные команды или другую входную информацию, так как эта информация сохраняется в специальной области памяти. Так, если в пустой активной ко-

мандной строке нажать клавишу ↑, то появится последняя вводимая команда,

повторное нажатие вызовет предпоследнюю, и так далее. Клавиша ↓ выводит команды в обратном порядке.

Создание М-файлов. Работа из командной строки MATLAB затрудняет-

ся, если требуется вводить много команд и часто их изменять. Самым удоб-

ным способом выполнения групп команд MATLAB является использование М-файлов, в которых можно набирать команды, выполнять их все сразу или частями, сохранять в файле и использовать в дальнейшем. Для работы с М-

файлами предназначен редактор М-файлов. С его помощью можно создавать собственные функции и вызывать их, в том числе и из командного окна.

М-файл – это список команд MATLAB, сохраненный на диске. Для под-

готовки, редактирования и отладки М-файлов служит специальный редактор,

который можно вызвать, выполнив команду главного меню File > New > M- file, нажав кнопку или набрав в командной строке Edit. В результате от-

кроется окно «Редактора» (рис. 2).

Рис. 2

Это фактически командная строка, в которой действуют элементарные приемы редактирования:

→ – перемещение курсора вправо на один символ;

← – перемещение курсора влево на одни символ;

Ноmе – перемещение курсора в начало строки;

End – перемещение курсора в конец строки;

Del – удаление символа после курсора;

Backspace – удаление символа перед курсором.

Кроме того, существуют особенности ввода команд. Если команда за-

канчивается точкой с запятой «;», то результат ее действия не отображается в

5

командной строке. В противном случае, при отсутствии знака «;», результат действия команды сразу же выводится в рабочую область.

Одновременно можно открыть несколько окон для создания М-файлов. Переходить из окна в окно можно, используя выпадающее меню Window или закладки внизу окна «Редактора».

Привести операторы М-файла к выполнению можно несколькими способами:

вызвать команду Debug>Run из меню редактора М-файлов;

воспользоваться клавиатурой и нажать на клавишу F5;

набрать имя М-файла в командной строки и нажать Enter;

воспользоваться кнопкой .

! Имена сохраняемых М-файлов должны быть написаны латиницей.

Обозначения некоторых переменных, принятые в лабораторных работах

6

Лабораторная работа 1. Определение интервальных оценок число-

вых характеристик случайных величин

Цель работы: изучение методов доверительного оценивания математи-

ческого ожидания и дисперсии

Расчет доверительного интервала для математического ожидания при

известной дисперсии

Содержание и порядок выполнения работы:

создание массива случайных чисел, распределенных по нормаль-

ному закону с известной дисперсией;

расчет точечной оценки математического ожидания;

расчет нижней и верхней границ доверительного интервала;

отображение результата на графике.

Запустите MATLAB. В окне Current Directory определите текущую ди-

ректорию как D/Student. В данной директо-

рии создайте папку с номером группы и фамилией. Это можно сделать, кликнув правой кнопкой мыши на поле Current Directory и выбрав из контекстного меню

New Folder (рис. 1.1).

В созданную папку должны записы- Рис. 1.1

ваться создаваемые программы, а также полученные результаты (графики и файлы с данными) по лабораторным работам.

Откройте окно «Редактора».

1. Создайте массив из n случайных чисел, распределенных по нормаль-

ному закону распределения, с заданным математическим ожиданием и дис-

персией.

Используйте команду normrnd (Mx,Sx,n,1), где Mx – математическое

ожидание СВ х; Sx = √ , где Dx – дисперсия х, n – размер массива. Зна-

чения n, Mx и Dx задаются преподавателем.

n= ; %размер массива

Mx= ;%математическое ожидание

Dx= ;%дисперсия

Sx=sqrt(Dx);

x=normrnd(Mx,Sx,n,1);

7

2. Для расчета точечной оценки математического ожидания используйте команду mean(х).

mx=mean(x);

3. Рассчитайте границы интервала по формулам: ex1 = mx – ε; – нижняя граница,

ex2 = mx + ε; – верхняя граница,

где ε = ; up – квантиль из таблицы нормального распределения на

уровне вероятности P для доверительных вероятностей pd 0,8; 0,9; 0,95 (см. Приложение).

При заданной доверительной вероятности pd, уровень вероятности Р для поиска квантилей up можно найти как P = (1 + pd)/2.

Запишите команды

ex1=mx–up*sqrt(Dx/n);

ex2=mx+up*sqrt(Dx/n).

4. Отображение результата на графике производится с помощью коман-

ды plot. Запишите команду

plot (ex1, i, ‘rh’).

Эта команда рисует точку с координатами [ex1; i], соответствующую значению нижней границы интервала на горизонтальной оси, и выделяет ее символом «красная звездочка». Задайте i = 1, где i – порядковый номер дове-

рительного интервала.

Для сохранения изображения запишите команду hold on. Далее по ана-

логии строится отметка, соответствующая верхней границе интервала. Отобразите также оценку математического ожидания mx, использовав

обозначение ‘gh’ – зеленая звездочка.

Сохраните полученный M-файл под именем Work1_1. Запустите про-

грамму кнопкой .

Сохраните полученный рисунок как ris1_1, выбрав File\Save As.

Сравнение оценок доверительных интервалов для математического

ожидания при повторении экспериментов с сохранением объемов выбор-

ки. Такое сравнение можно осуществить путем создания повторяющегося

цикла результатов вышеуказанного эксперимента.

Для создания повторяющихся циклов используется команда for… end.

8

Например, для сравнения интервальных оценок математического ожидания для 10 разных массивов можно использовать следующую программу:

n= ; %размер массива

Mx= ; %математическое ожидание

Dx= ;% дисперсия

Sx=sqrt(Dx); up= ;% квантиль for i=1:10;

x=normrnd(Mx,Sx,n,1);

mx=mean(x);

plot(mx,i,‘gh’); hold on; ex1=mx-up*sqrt(Dx/n); ex2=mx+up*sqrt(Dx/n); plot(ex1, i,'rh') hold on;

plot(ex2, i,'rh'); end

Сохраните полученный М-файл как Work1_2 и запустите программу. Для удобного восприятия получен-

ных результатов постройте на графике координатную сетку. Один из вариантов построения такой сетки:

Добавьте команды построения сетки в М-файл Work1_2, настроив изображение сетки в соответствии с полученными результатами.

Постройте вертикальную линию, показывающую на графике величину математического ожидания.

plot([Mx Mx], [0 i]);

hold on;

end

Выделите добавленные строки и нажмите «F9». На рисунке добавится сетка. При запуске программы мы получим график, представленный на рис. 1.2. Сохраните полученный М-файл и рисунок (как ris1_2).

9

Расчет доверительного интервала математического ожидания при неизвестной дисперсии

Содержание и порядок выполнения:

Создание массива случайных чисел, распределенных по нормальному закону.

Расчет точечной оценки дисперсии.

Расчет нижней и верхней границ доверительного интервала

Отображение результата на графике.

1.Создайте массив из n случайных чисел, распределенных по нормальному закону распределения, аналогично п. 1 нa с.7.

2.Считая дисперсию х неизвестной, найти точечную оценку дисперсии, используя команду var (x)

dx=var(x)

3.Расчет границ доверительного интервала производится аналогично п. 3 на с. 8, c учетом того, что вместо дисперсии Dx нужно использовать оценку дисперсии dx, а вместо квантиля up нужно использовать квантиль stp из таблиц распределения Стьюдента, в соответствии с заданной доверительной вероятностью (см. Приложение).

4.Отображение результатов на графике аналогично п. 4 на с.8. Сохраните полученный M-файл под именем Work1_3.

Расчет и построение доверительного интервала дисперсии

Нахождение доверительного интервала дисперсии основано на известной в теории вероятностей зависимости Dx = dx · f/hi, где случайная величина hi (xи-квадрат) имеет число степеней свободы f = n – 1.

При заданной преподавателем доверительной вероятности pd уровни вероятностей для поиска квантилей величины xи-квадрат можно найти как

P1 = (1 – pd)/2 – нижний уровень, P2 = (1 + pd)/2 – верхний уровень.

Зная число степеней свободы, по таблице xи-квадрат распределения (см. Приложение) нужно найти нижний hip1 и верхний hip2 квантили для xиквадрат. Тогда границы доверительного интервала для дисперсии можно найти как

Dx1= dx ∙ f/hip2 – нижняя граница, Dx2 = dx ∙ f/hip1 – верхняя граница.

10

Тогда шаблон программы поиска доверительного интервала для дисперсии можно представить в виде

Mx=…;%задается преподавателем

Dx=…;%задается преподавателем n=…;%задается преподавателем

x=normrnd(Mx,Sx,n,1);% создается выборка объема n dx=var(x);%оценка дисперсии

pd= ;% задается преподавателем

P1=(1-pd)/2;

P2=(1+pd)/2;

hip1=;

hip2=…; Dx1=dx*(n-1)/hip2; Dx2=dx*(n-1)/hip1;

Графики для одной выборки и для цикла выборок создаются аналогично графикам доверительных интервалов для математического ожидания. На графике для каждой выборки нужно отметить оценку дисперсии, а также верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала. При построении вертикальной прямой (в цикле) вместо Mx нужно провести линию через Dx. Сохраните полу-

ченные М-файлы как Work1_4 и Work1_5, а рисунки как ris1_4 и ris1_5.

В отчете по лаб. раб. 1 должны быть:

графики доверительных интервалов для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии;

график доверительных интервалов для дисперсии;

квантили из таблиц нормального распределения, распределения Стьюдента и распределения хи-квадрат на уровне соответствующих вероятностей.

Контрольные вопросы:

1.Что такое выборка (выборочная совокупность) и какими свойствами она обладает?

2.Что такое доверительный интервал?

3.По каким формулам производится оценка математического ожидания и оценка дисперсии?

4.Какие размерности имеют:

–математическое ожидание и дисперсия СВ?

–оценки математического ожидания и дисперсии СВ?

5. Как меняется доверительный интервал с изменением доверительной вероятности?

11