Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Российская академия народного хозяйства и государственной службы

при Президенте Российской Федерации

Факультет финансов и банковского дела

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

студент__2 курса ___________________________________________

___________________________________________________________

____________________________________________________________

группы №______

Москва

2012

ВВЕДЕНИЕ

Математическая статистика изучает методы сбора, обработки и анализа данных, получаемых в результате наблюдений массовых случайных явлений.

Задачи, решаемые методами математической статистики:

1. Определение способов сбора и группировки статистических данных.

2. Разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования.

К основным целям статистических исследований относятся: оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости между случайными величинами, проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

Основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность - это общая группа предметов, подлежащих статистическому исследованию.

Выборка или выборочная совокупность - отобранные из генеральной совокупности объекты и подлежащие изучению.

Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют число ( или соответственно) объектов этой совокупности.

Типы выборок:

1) повторная, если отобранный объект, перед отбором следующего, возвращается в генеральную совокупность;

2) бесповторная, если отобранный объект, перед отбором следующего, не возвращается в генеральную совокупность.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке она должна быть репрезентативной (представительной), то есть все объекты генеральной совокупности должны иметь одинаковую возможность попасть в выборку.

Способы отбора:

1) отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части (случайный бесповторный отбор, случайный повторный отбор).

2) отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (типический отбор, механический отбор, серийный отбор).

1. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть из генеральной совокупности объема извлечена выборка объема . Причем значение наблюдалось раз, - раз,.., - раз, и .

Наблюдаемые значения называются вариантами, а их изменение варьированием.

Число наблюдений каждого значения называется его частотой.

Отношение числа наблюдений значения к общему объему выборки называется относительной частотой значения , и обозначается .

Если данные систематизированы по времени, то моделью группировки будет временной ряд; если по любому другому признаку – то ряд распределения; для количественных признаков – вариационный ряд.

Дискретным вариационным рядом распределения (распределением частот) называется перечень вариант в порядке возрастания и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример 1. В супермаркете проводились наблюдения над числом покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения в течение 30 часов дали следующие результаты: 70, 75, 100, 120, 75, 60, 100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100, 70, 75, 60, 100, 100, 120, 70, 75, 70, 120, 65, 70, 75, 70, 100, 100. Cоставить дискретный вариационный ряд.

Решение.

	60	65	70	75	100	120
	3	3	7	5	8	4
	0,1	0,1	0,23	0,17	0,27	0,13

Интервальным вариационным рядом распределения (интервальным распределением частот) называется упорядоченная в порядке возрастания последовательность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной величины.

Интервальный вариационный ряд записывается для непрерывных случайных величин или для дискретных случайных величин, число значений которых велико.

В качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот значений, попавших в этот интервал.

Если - минимальное значение случайной величины, а - максимальное, то размер интервала удобнее определять по формуле Стерджеса:

,

где - разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, - число интервалов. Если возможно, величину округляют до целого числа.

За начало первого интервала рекомендуется брать величину . Все значения признака попадут в интервал , где , . Во второй строчке статистического ряда вписывают количество наблюдений , попавших в каждый интервал.

Границы интервалов
Сумма частот вариант, попавших в интервал

На практике обычно считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 интервалов.

Пример 2. В городе для определения сроков гарантийного обслуживания проведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет с момента продажи автомобиля магазином. Получен следующий результат (тыс. км.): 3,0; 25,0; 18,6; 12,1; 10,6; 18,0; 17,3; 29,1; 20,0; 18,3; 21,5; 26,7; 12,2; 14,4; 7,3; 9,1; 2,9; 5,4; 40,1; 16,8; 11,2; 9,9; 25,3; 4,2; 29,6. Составить интервальный вариационный ряд.

Решение. Выберем наименьшее и наибольшее значения пробега: , . По формуле Стерджеса, при , находим . Примем . Определим начало первого интервала: . Подсчитав число пробегов, попавших в каждый из полученных промежутков, получим интервальный вариационный ряд:

-0,6 – 6,4	4	0,16
6,4 – 13,4	7	0,28
13,4 – 20,4	7	0,28
20,4 – 27,4	4	0,16
27,4 – 34,4	2	0,08
34,4 – 41,4	1	0,04

Задания для решения в аудитории

По данным выборки составить дискретный и интервальный вариационные ряды.

Вариант №1.

2,0	2,8	2,1	2,2	4,8	2,5	2,1	3,6	5,2	1,4	3,2	2,1	3,8	3,2	2,5
2,1	2,3	3,2	2,2	2,9	2,9	3,2	2,3	2,8	3,9	3,5	3,1	4,9	3,5	4,3
3,7	4,4	4,0	1,8	2,3	2,3	3,4	1,9	2,7	2,3	2,2	2,4	3,2	3,8	2,4
0,5	2,2	3,1	2,4	3,3	2,9	3,2	2,8	4,5	3,5	4,1	3,4	3,5	2,8	2,3

Вариант №2.

34,0	34,5	34,4	34,1	36,1	34,6	34,3	34,4	34,3	34,2	34,0	34,2	34,4	34,4	34,0
34,6	34,1	34,2	36,4	35,0	35,6	34,1	34,1	34,1	35,9	35,0	35,1	35,0	34,4	34,8
34,7	34,6	35,2	37,7	34,1	34,3	34,2	34,3	34,1	34,3	35,8	36,0	34,2	34,3	35,2
36,0	34,2	34,1	34,3	35,1	34,6	36,5	34,8	34,2	35,0	34,2	35,1	34,2	36,2	34,8

Вариант №3.

12,8	14,4	14,4	13,6	12,3	13,0	15,7	12,0	14,7	12,3	12,2	16,4	12,2	12,3	12,2
12,3	13,2	15,1	15,0	14,2	12,0	14,2	12,4	14,1	15,2	12,5	12,5	12,2	13,2	15,9
12,9	13,3	12,3	12,0	13,6	12,4	13,7	14,8	12,2	12,6	14,3	12,1	13,4	13,5	12,5
19,9	12,1	14,8	12,2	12,8	13,1	12,6	13,9	12,8	12,6	21,8	16,2	12,8	14,2	12,9

Вариант №4.

40,2	50,9	29,8	28,2	31,8	41,3	28,5	42,1	31,2	46,0	28,8	39,2	29,1	33,8	33,4
42,0	25,7	28,0	32,5	24,0	37,5	30,9	46,6	24,2	49,1	34,5	39,4	28,1	28,9	48,8
38,6	48,4	36,7	32,3	41,6	37,7	30,6	40,9	41,4	36,4	44,1	35,8	36,1	38,9	31,1
43,8	31,8	35,3	44,9	28,1	47,6	38,9	40,4	27,0	34,0	44,1	31,0	33,0	28,2	45,3