Вопрос 32. Приведите вывод математической модели измерения по шкале порядка.

Шкалы порядка - это расположенные в порядке возрастания или убывания размеры измеряемой величины. Расстановка размеров в порядке их возрастания или убывания с целью получения измерительной информации по шкале порядка называется ранжированием. Для облегчения измерений по шкале порядка некоторые точки на ней можно зафиксировать в качестве опорных (реперных). Недостатком реперных шкал является неопределенность интервалов между реперными точками. Поэтому баллы нельзя складывать, вычислять, перемножать, делить и т. п. Примерами таких шкал являются: знания студентов по баллам, землетрясения по 12-балльной системе, сила ветра по шкале Бофорта, чувствительность пленок, твердость по шкале Мооса и т. д. Математическая модель измерения по шкале сравнения имеет вид где q — результат измерения (числовое значение величины Q); Q — значение измеряемой величины; [Q] — единица данной физической величины; V — масса тары (например, при взвешивании); U — слагаемая от аддитивного воздействия.

В опрос 33. Рассмотрите основные свойства законов распределения вероятности, являющихся моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных методами математической статистики.

Вопрос 34. Общее правило образования начальных моментов. Рассмотрите свойства математического ожидания.

Описание отсчета или результата измерения с помощью законов распределения вероятности является наиболее полным, но неудобным. Во многих случаях ограничиваются приближенным описанием закона рас­пределения вероятности с помощью его числовых характеристик или моментов. Все они представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределе­ния - центральными.

Общее правило образования начальных моментов:

где r - номер момента. Важнейшим начальным моментом является первый — среднее значение характеризующее математическое ожидание отсчета при бесконечном повторении процедуры измерения по формуле (2) или (7). Иногда математическое ожидание удобнее обозначать символом М(х). Свойства математического ожидания:

1) математическое ожидание неслучайного числа равно самому этому числу:

где ;

2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3) математическое ожидание алгебраической суммы случайных чисел равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

4) математическое ожидание произведения независимых случайных чисел равно произведению их математических ожиданий:

5) математическое ожидание отклонения случайного числа от его математического ожидания равно нулю:

Вопрос 35. Общее правило образования центральных моментов. Рассмотрите свойства дисперсии.

Мерой рассеяния отдельных результатов около их среднего значения служит второй центральный момент. Общее правило образования центральных моментов записывается следую­щим образом: Откуда сразу видно, что первый центральный момент тождественно равен нулю

Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается

Иногда дисперсию удобнее обозначать символом D(x). Свойства диспер­сии:

1) дисперсия неслучайного числа равна нулю:

где

2)постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

3) дисперсия алгебраической суммы двух случайных чисел

где коэффициент корреляции

4) дисперсия алгебраической суммы независимых случайных чисел равна арифметической сумме их дисперсий

5) дисперсия случайного числа равна разности между математическим ожиданием ее квадрата и квадратом математического ожидания

Ч ем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов, получен­ных по формулам (2), (7) относительно . Это наглядно видно на рис. 16, где представлены кривые плотности одного и того же закона распределения вероятности отсчета при различных дисперсиях