Вопрос 23. Нормальное распределение, правило 3σ.

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

 

где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание. 

  Если а=0 и  σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

  а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

  Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ  вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

P(α<x<β)=F(α)-F(β)=Ф(	β-a	)
	σ

-Ф(	α-a	)
	σ

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:

P(|X-a|<δ)=2Ф(	δ	)
	σ

     ,где  δ — величина отклонения.

  Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

  P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973

  Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%

Вопрос 24. Компенсация математической погрешности.

Теория погрешности рассматривает анализ случайных погрешностей и методы оценки погрешностей результатов измерений на основе теории вероятности и математической статистики. Систематические погрешности при этом считаются скорректированными благодаря использованию специальных методов их обнаружения и исключения. В соответствии с этим вводятся понятия неисправленного и исправленного результатов измерений.

Неисправленный результат измерений – значение физической величины, полученное в результате измерения до введения поправок.

Исправленный результат измерения – значение физической величины, полученное в результате измерений и уточненное путем введения к нему необходимых поправок.

Поправка – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющей систематической погрешности.

По сути, поправка рассматривается как известное значение систематической погрешности, взятое с обратным знаком.

, где – поправка, имеющая размерность измеряемой величины, численное значение может быть как с +, так и с -.

Влияние систематической погрешности в некоторых случаях исключается введением безразмерного поправочного множителя.

Поправочный множитель – числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения систематической погрешности.

Поправки и поправочные множители могут определяться теоретически или экспериментально представлены в виде числа или функции, заданной графически, таблично или с помощью математического выражения.