2. Механические схемы деформации

Для анализа процессов обработки металлов давлением применяют так называемые механические схемы деформации; каждая такая схема со­стоит из двух схем: схемы главных напряжений и схемы главных дефор­маций.

В качестве примера на рис. 1.9, приведены механические схемы де­формации.

При прессовании (выдавливании через очко матрицы) металл нахо­дится в напряженном состоянии всестороннего сжатия (все три глав­ные напряжения а — сжимающие): в направлении оси цилиндрического

контейнера происходит дефор­мация удлинения, а по двум другим осям — деформация сжатия (рис. 1.9, а).

При волочении схема на­пряженного состояния разно­именная: по оси протягивае­мого прутка действует напря­жение растяжения, по двум другим осям — напряжения сжатия (давления со стороны волоки). Схема деформации аналогична схеме деформации при прессовании (рис. 1.9,6).

При прокатке и осадке металла вследствие наличия контактных сил трения схема напряженного состояния аналогична схеме при прессова­нии, т. е. всестороннее сжатие; схема деформации состоит из одной де­формации сжатия (обжатие металла по толщине) и двух деформаций удлинения (по длине и ширине), рис. 1.9, в.

Всего имеется девять схем напряженного состояния и три схемы де­формированного состояния; сочетание их позволяет получить более 20 механических схем деформаций (рис. 1.10).

/

/

Рис. 1.9. Схемы напря­жений и деформаций:

Объемные схемы

Плоские схемы

\^£Г 1

П

Рис. 1.10. Механические схемы дефор­маций:

Линейные схемы

б,

/

£< Ш

с.

^£гУ~

напряженного состояния; деформированного состоя-

а — схемы б — схемы ния

Для того, чтобы определить, по какой схеме предельного напряжен­ного состояния происходит пластическая деформация металла, пользу­ются следующим приемом: в зоне деформации металла мысленно выде­ляют бесконечно малый кубик (объем) металла, грани которого подвер­жены действию главных нормальных напряжений.

Главные нормальные напряжения, действующие на грани кубика, обозначают через oi, 02 и <73 и называют: Oi — максимальным; 03 — ми­нимальным и <т₂ — средним (по величине между о\ и сг₃) напряжением.

Схемы объемного напряженного состояния: всесто­роннее растяжение, всестороннее сжатие и две разноименные схемы.

Схема всестороннего растяжения является самой невыгодной схемой деформации, так как очевидно, что металл при этом обладает малой пла­

стичностью. Практически при обработке металлов давлением эту схему не применяют, а ее используют только при растяжении образцов, имею­щих местное сужение (шейку), т.е. при растяжении образцов перемен­ного сечения. Очевидно, что по схемам всестороннего равномерного W1 =сг₂=а₃) сжатия или растяжения деформация невозможна. Все процессы обработки металлов давлением построены по схеме всесторон­него неравномерного сжатия [оуфоъфоъ) или по разноименным объ­емным схемам (сжатие — растяжение).

Схемы плоского напряженного состояния — это схе­мы, в которых одно из главных напряжений равно нулю. Таких схем три: двустороннее растяжение, двустороннее сжатие и разноименная схе­ма (растяжение — сжатие).

Схемы линейного напряженного состояния (прос­тое растяжение или сжатие). Линейная схема применяется при испыта­нии образцов постоянного сечения на растяжение. Линейные схемы сжа­тия практически неосуществимы, так как контактные силы трения на плоскостях сжатия создают горизонтальные напряжения в металле, и фактически при этом получается объемная схема сжатия. Только по кра­ям образца, где влияние сил трения незначительно, условно можно счи­тать, что металл находится в напряженном состоянии линейной схемы сжатия (рис. 1.11).

^Р\

^////////А/////{/л

Рис. 1.11. Влияние контактного трения на напря­женное состояние металла в середине н по кра­ям заготовки при осадке ее (F — силы трения)

%			1
	%	1
/у	V4

ФЮ

Рис. 1.12. Влияние схемы напряженного состоя- вня металла на сопротивление его деформации при волочении и выдавливании (по С. И. Губ­кину)

Поясним значение и влияние различных схем напряженного состоя­ния следующим весьма наглядным опытом С. И. Губкина.

Медный отожженный образец (рис. 1.12, а) закладывали в матрицу (рис. 1.12,6) и к нижнему концу его прикладывали растягивающее уси­лие, т. е. осуществляли процесс волочения. Когда высота образца в мат­рице с 15 мм уменьшилась до 10 мм, усилие волочения по прибору бы­ло равно 10,5 кН. В этот момент опыт прервали и вместо растягивающего усилия приложили сжимающее усилие, для чего поместили в матри­цу пуансон (рис. 1.12,5) и нагрузили его сверху. Таким образом опыт продолжали при осуществлении процесса истечения металла (процесса прессования) через очко. Для того чтобы металл опять начал течь при этом способе, к пуансону потребовалось приложить сверху усилие, рав­ное 35,3 кН, т. е. значительно большее, чем при волочении.

Главные нормальные напряжения при этом были равны: при волочении

ctj = pip = (10500*4)/(я-8²) - 220 МПа; при прессовании

1. = P/F = (35300-4)/(я- Ю²) = 450 МПа.

И в этом и в другом случае были так называемые объемные схемы напряженного состояния, т. е. на металл действовали три взаимно пер-

пендикулярных главных напряжения: oi, о₂ и аз- Однако при волочении одно из этих напряжений было растягивающим (разноименная схема), а при прессований все три были сжимающими. Таким образом, повыше­ние приложенных внешних усилий (с 10,5 до 35,3 кН) и давлений (глав­ных нормальных напряжений tii) произошло исключительно вследствие изменения схемы напряженного состояния металла в рабочем простран­стве при деформации. В обоих случаях механические свойства металла были неизменными, однако сопротивление деформации изменилось.

Таким образом, можно сделать вывод, что сопротивление де­формации и пластичность металла — это не свойства его (как, например, предел текучести), а состояние; они зависят не только от природы его, но и от схемы напряженного состояния.

В каждой точке деформируемого тела имеются три взаимно перпен­дикулярных направления, которые являются главными осями деформа­ций; по направлению этих осей деформируемое тело испытывает глав­ные линейные деформации еь ег и е₃ (сжатия или растяжения).

.. ^ПР^И пластической деформации объем металла не изменяется, т. е. V=const и приращение объема равно нулю (ДУ=0). Если длину реб­ра исходного кубика металла принять равной единице, то можно запи­сать *

AV = (1 -f- 8]) (1 + е₂) (1 +63) — I л? -f- ®2 4' ^ез ⁼ 0» (1.236)

Ьг

Рис. 1.13. К определению истинной (лога­рифмической) деформации при осадке ме­талла

т. е. сумма главных линейных деформаций при пластической деформа­ции равна нулю. Из этого следует, что при объемном напря­женном состоянии главные линейные деформации не могут быть одного знак а, т. е. схемы деформации могут быть только разноименные и всего таких схем три: одна плоская (сжатие— растяжение при 62=0) и две объемные сжатие — сжатие — растяжение или сжатие — растяжение — растяжение (см. рис. 1.10, б).

Например, ири прокатке широкого листа уширением можно пренебречь (е₂ = 0) и считать, что схема деформа­ции является плоской (/); при прокат­ке толстой заготовки (слитка) прямо­угольного сечения металл обжимается по толщине (сжатие), а ширина и дли­на его увеличиваются (растяжение — схема //, объемная). При выдавливании и волочении металла через коническую матрицу (очко) имеются две деформации радиального сжа­тия и одна деформация осевого растяжения (схема 111, объемная).

При обработке давлением (прокатке, ковке, прессовании) размеры деформируемого металла изменяются значительно, т. е. имеют место большие пластические деформации. В этих случаях истинную относи­тельную деформацию более правильно определять как интеграл отно­шения бесконечно малых приращений деформаций (за короткие проме­жутки времени) к текущей толщине металла, например, для осадки метала по высоте (рис. 1.13) (считая деформацию положительной)

ho

8_Л= Г— =1п-^- = !п — =— 1п(1— elssefl + —). (1.23в)

J ft hi 1 — е \ 2 )

hi

Таким образом истинная (логарифмическая, интегральная) деформация больше относительной деформации 6л >г. Однако при е=0,2 6н>г только на 10%, поэтому на практике при выполнении различных рас­четов чаще применяют более простые выражения относительного обжа­тия через е.

Для создания условии, необходимых для начала пластической де­формации при различных схемах напряженного состояния, требуется приложить к металлу различные по величине главные нормальные на­пряжения оь 02 и аз-

При простом линейном сжатии (растяжении) (см. рис. 1.3) к ме­таллу надо приложить со стороны рабочего инструмента (штампа) вер­тикальное напряжение 01 = 0^, равное, согласно формуле (1.7), oi = o_a.

При плоском напряженном состоянии (о₂=0) (см. рис. 1.4) в дефор­мируемом металле, согласно формулам (1.12) и (1.22), надо создать разность главных нормальных напряжений, равную ai—Оз = сТд.

В тех случаях, когда деформация происходит в условиях объемной схемы напряженного состояния (т. е., когда имеются все три главных напряжения о-,, о₂ и ст₃), определить условия начала пластической де­формации более сложно.

В отличие от прежних теорий Треска и Сан-Венана, в настоящее вре­мя этот вопрос решается на основании так называемой энергетической теории предельного состояния деформируемого материала (теории Гу­бера — Генки — Мизеса), согласно которой пластическая дефор­мация возможна только тогда, когда в упругом ма­териале будет накоплена определенная энергия, не­обходимая для изменения формы (а необъема) этого материала независимо от схемы напряженного состояния.

Пластическая деформация начнется только после упругой деформа­ции. Потенциальную энергию упругой деформации А можно разделить на две части:

Л = А₀ 4- (1-24)

где Ао — потенциальная энергия, направленная на изменение объема (как известно, при упругой деформации растяжения объем тела увели­чивается, а плотность уменьшается); А$ — потенциальная энергия, на­правленная на изменение формы тела.

При объемной схеме напряженного состояния металла упругая де­формация его происходит в трех направлениях («ь е₂ и е₃) и полная (удельная) потенциальная энергия, согласно закону Гука, выражается уравнением

А = V, fa е_х + сг₂е₂ + <т₃ е₃). (1.25)

Так как относительные деформации по закону Гука равны

е_х = ^t/e [а_х — ц (сг₂ -h сг₃)1;

е₂ = Vje[cf₂— H-fo + tfa)!; (1.26)

е₃ = Че [ст₃ — И- (^а* +

то, согласно уравнению (1.25), получим следующее выражение для пол­ной потенциальной энергии деформации ,

А = Ч_гЕ [<j\ + of -f of — 2\i (Oj а₂ -f сг₂ <т₃ + о₃ а,) ]. (1.27)

Относительное приращение объема тела при упругой деформации равно сумме деформаций в трех взаимно перпендикулярных направле­ниях, т. е.

AVIV = е_х + е₂ -f- е₃ = [(1 — 2р)/£] (а_х -j- о₂ о₃), (1-28)

где ц — коэффициент Пуассона деформируемого материала; Е — модуль упругости материала.

Потенциальная энергия, направленная на изменение объема, равна половине произведения относительного приращения объема на среднее напряжение, т. е.

А, = — — °^{1 + <,г+аз} = 1—^ (а, + а₂ + (Tg)¹. (1.29)

2. V 3 6Е

Пользуясь уравнениями (1.27) и (1.29), из формулы (1.24) находим, что удельная потенциальная энергия, направленная на изменение фор­мы, будет равна

\ = ^А “ Л “ [(^] + ^)^/6£] [(^ai - °2)² + (^а2 - ^стз)² + (°з - ^aiY}‘ (^Т-³⁰)

На основании многочисленных опытов установлено, что удельная по­тенциальная энергия, направленная на изменение формы при пластиче­ской деформации, является величиной постоянной, не зависящей от схемы напряженного состояния при деформации (зависит только от природы материала, температуры и скорости деформации). Таким обра­зом, при линейной схеме деформации (ot = oy, о₂=аа=0) удельная по­тенциальная энергия, согласно формуле (1.30) будет равна

(1.31)

(1.32)

Это так называемое энергетическое уравнение (усло­вие) пластичности в общем виде. Его можно формулировать следующим образом: су м м а квадратов разностей главных нормальных напряжений при объемной схеме напря­женного состояния выделенного в металле бесконеч­но малого элемента есть величина постоянная, рав­ная удвоенному квадрату фактического сопротивле­ния деформации при линейной схеме напряженного со­стояния.

Применение уравнения пластичности (1.32) для подсчета усилий, воз­никающих при различных процессах обработки металлов давлением, осложняется трудностью определения взаимосвязи между всеми тре­мя главными напряжениями oi, о₂ и оз. Однако в этом и нет практиче­ской необходимости, так как основные процессы обработки металлов давлением можно свести к двум объемным схемам напряженного со­стояния, для которых применение уравнения пластичности (1.32) зна­чительно упрощается:

1. Протяжка и прессование металла через очко (фильер, матрицу). Ввиду того, что деформируемый в очке металл круглого сечения, на­пряжения в любой горизонтальной плоскости равны между собой, т. е. о^г2⁼⁼Оз. При этом уравнение пластичности (1.32) принимает следую­щий вид: <Ti—<7з^==г Од.

Уравнение (1.32) того же вида, что и уравнения (1.14) и (1.22), по­лученные из теории максимальных касательных напряжений, согласно которой

'W = СТф/2 = (о^-! — 0Г₃)/2.

2. Прокатка. При прокатке широких полос основными деформация­ми являются высотная (обжатие по высоте) и продольная (удлине­ние), а поперечная деформация (уширение) незначительна и ею мож­но пренебречь. Полагая для этого случая относительную деформацию ег (в направлении среднего напряжения сг^) равной нулю (плоская де­формация), согласно уравнению (1.26), получим

(1.33)

При пластической деформации (в отличие от упругой) объем де­формируемого металла не изменяется, поэтому при ДУ=0 из уравне­ния (1.29) получим

(1.34)

[(1— 2ц)/£](сг,+а₂+сгз) =0, откуда 1— 2ц=0, т.е.

|х = 0,5.

Таким образом, коэффициент Пуассона при пласти­ческой деформации металла есть величина посто­янная (так как объем металла не изменяется) и равная ji=0,5.

С учетом выражения (1.34) уравнение (1.33) примет вид:

= (сгх + сг₃)/2, (1.35)

т. е. при плоской деформации среднее (по величине) глав­ное нормальное напряжение о₂ равно полусумме максимального (0,) и минимального (аз) напряжений.

Такая схема деформации, когда при объемном напряженном со­стоянии (т. е. существуют все три главных напряжения сг_ь <j₂ и сг₃) од­на из трех деформаций е* (например, уширение при прокатке) равна нулю, называется плоской (двухмерной) деформацией.

Подставляя условие (1.35) в уравнение (1.32), получим

₀₁_<т₃ = (2/J/3) а_д « 1,15а_д. (1.36)

Ранее (см. рис. 1.5) было установлено, что при чистом сдвиге, когда 0i=—0₃ (напряжение сжатия равно напряжению растяжения), на на­клонной площадке нормальные напряжения будут равны нулю, а каса­тельное напряжение будет максимальным и, согласно формуле (1.17), при а=45° равным

■W = (^ai + °з)/2. (!-37)

Сравнивая это выражение с формулой (1.36), получим (при о₃ = =—0₃), что

Т_тах = СГд/|^3 « О,580д. (1.38)

Таким образом, мы получим очень важный вывод: максималь­ная величина, которую физически может достичь главное касательное напряжение при пластической деформации (при чистом сдвиге), равна ~ 0,58 а_д и о и а на­зывается константой пластичности.

Напомним, что по теории максимальных касательных напряжений (теория Треска и Сан — Венана) т_тах==0д/2 [см. формулу (1.12)]. Увеличение (на 15%) максимального касательного напряжения при чистом сдвиге объясняется учетом влияния среднего напряжения а₂ [формула (1.35)] в энергетическом уравнении пластичности (1.32).

Уравнение (1.36) в главных напряжениях для плоской (двухмерной)' деформации при объемной сх^ме напряженного состояния имеет вид

01 —0₃ = k, (1.39)

где k = 2т_шах - 2/J/3 0_Д « 1,150_д.

Уравнение пластичности (1.39) является основным при решении многих задач по обработке металлов давлением и главным образом по прокатке широкой и относительно тонкой полосы. Оно показывает, что при пластической деформации разность главных нормальных напряжений — максимального (01) и ми­нимального (03)—есть величина постоянная, равная удвоенной константе пластичности.

Применяя уравнение пластичности (1.39), надо учитывать алгебра­ическую, а не абсолютную величину напряжений 01 и 03, т. е. надо учи­тывать знаки этих напряжений, поэтому более правильно это уравне­ние записывается так:

(±0i)-(±0₃) = К (1.40)

где знак плюс относится к напряжению сжатия (принятому положи­тельным), а знак минус — к напряжению растяжения.

Например, прокатку металла, имеющего фактическое сопротивле­ние линейной деформации 0_Д=4ОО и £ = 1,15 04=460 МПа, можно проводить по двум плоским схемам деформации:

а) одноименной схеме сжатия, когда (-fai)=760 и ( + 03) = = 300 МПа (максимальным здесь будет наибольшее по абсолютной величине напряжение сжатия, т. е. oj):

б) разноименной схеме (сжатие — растяжение), когда (+ori) =200, а (—аз) =260 МПа (максимальным здесь является положительное напряжение oi, хотя оно меньше по абсолютной величине чем а₃, кото­рое будет минимальным). Алгебраическая разность в обоих случаях будет одинаковой, равной k=460 МПа.

Интересно выяснить, каковы будут напряжения о\ и о₃, если при прокатке будет создана схема напряжений, соответствующая чистому сдвигу. Очевидно, что этому случаю соответствует условие равенства абсолютных величин сч и сг₃, т. е. ( + ai) = (—сг₃). Подставляя эти зна­чения в уравнение (1.40), получим о\ = k/2 — —сг₃, т. е. в рассматрива­емом случае 0^ = 230 и о₃ =—230 МПа. Таким образом, при чистом сдвиге каждое из главных нормальных напряжений по абсолютной величине равно максимальному ка­сательному напряжению (константе пластичности т_тах = =k/2).

Из изложенного следует, что условие начала пластической дефор­мации, определяемое уравнением (1.40), можно обеспечить при двух основных схемах напрялченного состояния деформируемого металла: одноименной схеме сжатия и разноименной схеме сжатие — растяже­ние; к последней относится и схема чистого сдвига. Так как при обра­ботке давлением (например, при прокатке) нам желательно достичь наибольшего эффекта пластической деформации при наименьших зна­чениях давления [т. е. напряжения cji со стороны рабочего инструмен­та (валков)], то разноименную схему напряжений следует признать наиболее целесообразной (при деформации пластичных материалов, например стали, допускающих приложение к ним больших растягива­ющих напряжений а₃). Известно, например, что при прокатке полосы с натяжением (растяжением) ее концов моталками требуется значитель­но меньшее давление валков на металл, чем при прокатке без натя­жения.

Выше было отмечено, что для многих видов обработки металлов давлением (осадки, прокатки) нормальные напряжения о_у и о_х на площадках (выделенного бесконечно малого элемента внутри дефор­мируемого металла), перпендикулярных осям у их, не являются глав­ными, так как на этих площадках действуют касательные силы т (на­пример, под влиянием контактных сил трения, см. рис. 1.11 и II.1). В таком случае главные нормальные напряжения (максимальное о\ и минимальное а₃) действуют по площадкам, имеющим некоторый угол наклона к осям у и х (см. рис. 1.6). Согласно формулам (1.22) и (1.39), получим

— о_xf + 4т^ = /г². (1.41)

Это есть обобщенное уравнение пластичности для не главных напряжений по осям у и х, перпендикулярно ко­торым на площадках элемента действуют касательные напряжения Тзсу—Чу*. Если касательные напряжения значительно меньше своего максимального значения при чистом сдвиге {x_Xy<^k/2), т. е. если угол между направлениями и о\ (или о_х и аз) незначителен по величине (до 5—10°, см. рис. 1.6 и пример 2 на стр. 12), то можно не учитывать их влияние, считать, что o_y=oi, о_х=сг₃ и пользоваться уравнением (1.39) в главных напряжениях.