7. Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Запишем общий вид однородной системы m уравнений с n неизвестными:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+…+ а_1nх_n=0

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+…+ а_2nх_n=0

…

а_m1х₁+ а_m2х₂+…+ а_mnх_n=0, где n>m

Применим к системе метод Гаусса.

В процессе преобразований не могут получиться противоречивые уравнения

, где b≠0,

т.к. все свободные члены уравнений – нули.

Значит, после некоторого числа шагов мы получаем систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Но поскольку число уравнений меньше числа неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше числа неизвестных. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные, а система имеет бесчисленное множество решений.

8. Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Совокупность P всех решений однородной системы уравнений является линейным пространством, которое представляет собой подпространство линейного пространства всех вектор-столбцов высоты n.

1).

2).

9. Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений имеет вид

, где Х₀ – некоторое (частное) решение неоднородной системы уравнений

- общее решение однородной системы

AX=B

A(X₀+C₁X₁+C₂X₂+…+ C_nX_n)=AX₀+C₁AX₁+…+C_nAX_n=AX₀=B

Множество решений неоднородной системы линейных уравнений не образует линейного пространства.

10. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

(Правило Крамера для системы nxn) – Пусть дана система АХ=В из 2 линейных уравнений с 2 неизвестными. То есть у нас получается системы 2х2.

Если |А|≠0, то системы имеет единственное решение:

, где А₁ означает матрицу, полученную из А заменой 1 столбца столбцом В, а А₂ получена из А заменой второго столбца столбцом В.

11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.

Начнем с определения, что такое ортонормированная система.

Здесь доказывается линейная независимость 3х3

12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

- ортогональный базис

13. Невырожденность ортогональной матрицы.

14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

А’=T^-1AT

Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе .

Предположим, что мы переходим к новому базису, в котором преобразованию отвечает новая матрица А’, а Т есть матрица перехода от исходного базиса к новому базису.

Х=ТХ^’, где Х – столбец из старых координат разложенного по базису вектора, а Х’ – столбец из новых координат. Аналогично Y=TY’

Учитывая, что Y=AX, Х=ТХ^’ и Y=TY’, установим связь между Х’ и Y’.

Y’=T^-1Y=T^-1AX=T^-1ATX’

Отсюдаследует, что матрицей отображения А в новом базисе будет матрица A’=T^-1ATX, чтд.