13. Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения

Пусть за время точка переместилась из положения М в положение М1, совершив перемещение (рис. 1.17). величина скорости точки:

Направлена скорость по касательной к траектории: Найдем ускорение точки. Пусть в положении М точка имеет скорость (рис. 1.8). Полное ускорение точки будет: Обозначим угол между касательными через (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения на касательную и нормам п.

Найдем эти пределы, учитывая, что при одновременно и и . где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке. Подставив эти значения в ап получим: Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами: 1.17, 1.16, 1.18.

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости. Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.

14. Поступательное движение твердого тела. Вращательное движение тела: способы задания, угловая скорость и угловое ускорение.

Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению. Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли. Вращательным движением твердого тела называется движение, когда все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения и перпендикулярной к плоскостям, в которых вращаются точки тела. Угловая скорость и угловое ускорение: Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1). Ее положение через промежуток времени Δt зададим углом Δφ. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются Δφ или dφ). Модуль вектора dφ равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dφ (рис. 2). Размерность угловой скорости dim ω = Т-1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с). Линейная скорость точки (см. рис. 1) т.е v=ωR В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: При этом модуль векторного произведения, по определению, равен ωRsin(ω, R), а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта его вращения от ω к R. Если ω=const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt=Т соответствует Δφ=2π, то ω=2π/T, откуда Т = 2π/ω. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: n= 1/T = ω/(2π), откуда ω = 2πn. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной yгловой скорости по времени: . При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3) при замедленном - противонаправлен ему (рис. 4) Тангенциальная составляющая ускорения aτ=dv/dt , v = ωR и Нормальная составляющая ускорения . Значит, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение аτ, нормальное ускорение аn) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

s = Rφ, v = Rω, аτ = R?, an = ω2R. В случае равнопеременного движения точки по окружности (ω=const) ω = ω0 ± ?t, φ = ω0t ± ?t2/2, где ω0 — начальная угловая скорость.