9. Привидение плоской системы сил к простейшему виду

Рассмотрим систему сил (F_1, F₂,..., F_n), расположенных в од­ной плоскости. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, приведем рассматриваемую систему сил к одной силе F₀=åF_k, (5.1) равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен глав­ному моменту M₀=åM₀(F_k), (5.2) где М_о(F_k)– момент силы F_k относительно центра приведения О. Так как силы распол в одной пл-ти, то сила F_oтакже лежит в этой плоскости. Момент пары М_о направлен перпенди­кулярно этой плоскости, т.к. сама пара распол в пл-ти действия рассматриваемых сил. Т.о., для плоской сис­темы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1). Момент полностью характеризуется алгебраической величиной M_z, равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составля­ющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение-» пары происходит, против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Пусть, например, даны две пары, (F₁, F`<sub>1</sub>) и (F<sub>2</sub>, F`₂) (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем M_z(F₁,F`<sub>1</sub>)=h<sub>1</sub>F<sub>1</sub>, M<sub>Z</sub>(F<sub>2</sub>,F'<sub>2</sub>)=-h<sub>2</sub>F<sub>2</sub>. Моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствую­щим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет M<sub>oz</sub>(F<sub>1</sub>)=hF<sub>1</sub>, M<sub>oz</sub>(F<sub>2</sub>)=–hF<sub>2</sub> (5.4). Индекс z в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы ука­зать на алгебраический характер моментов. Модули момента пары и момента силы обозначаются следую­щим образом: М(F,F')=| М<sub>z</sub>(F,F`)|, М_о(F)=|М_Оz(F)|. Получим, M_oz=åM_oz(F_z). Для аналитического определения главного вектора применяются формулы: F_ox=åF_kx=F_1x+F_2x+…+F_nx, F_oy=åF_ky=F_1y,+F_2y+…+F_ny, F_o=(F²_ox+F²_oy)^1/2=([åF_kx]²+[åF_ky]²)^1/2 (5.8); cos(x, F_o)=F_ox /F_o, cos(y, F_o)=F_Oy/F_o.(5.9). А главный момент равен М_Оz=åM_Oz(F_k)=å(x_kF_ky–y_kF_kx), (5.10) где x_k, y_k– координаты точки приложения силы F_k.

Докажем, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Пусть Fo≠0, МОz ≠0 (рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с мо­ментом MOz. Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил F1 и F`1, равных по модулю главному вектору Fo, т. е. F1=F`1 =Fo. При этом одну из сил (F`1), составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы Fo (рис. 5.4, б). Тогда система сил Fo и F`1 эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следо­вательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе F1 приложенной к точке 01; эта сила и является равнодействующей. Равнодействующую будем обозначать буквой R, т.е. F1=R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра приведе­ния О до линии действия равнодействующей можно найти из условия |MOz|=hF1 =hFo, т.е. h=|MOz|/Fo. Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент пары сил (F1, F`1) совпадал с главным моментом MOz (рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встре­титься следующие случаи: (1) Fo≠0, MOz≠0.В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.(2) Fo≠0, МОz=0. В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодей­ствующей),  проходящей через данный центр  приведения. (3) Fo=0, MOz≠0. При этом система сил эквивалентна  одной  паре сил. (4) Fo=0, МОz=0. В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т.  е.  силы,  составляющие систему,  взаимно уравновешены.

Теоре́ма Вариньо́на — одна из теорем механики, устанавливающая зависимость между моментами сил данной системы и моментом их равнодействующей силы относительно какого-либо центра или оси. Сформулирована для сходящихся сил Пьером Вариньоном в 1687, либо, ещё раньше, Симоном Стевином.

Теорема Вариньона:

Если система сил, приложенных к абсолютно твердому телу имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольного центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).

Векторная запись теоремы:

  .

10. Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов на плоскости декартовых координат Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами. Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ие₂соответствуют уравнения: . Значения аргументов синусоидальных функций  и  называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0):    и    - начальной фазой ( ). Величину  , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на  рад., то угловая частота есть , где f – частота. При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз. Для синусоидальных ЭДС е₁ие₂угол сдвига фаз: .

Векторное изображение изменяющихся величин

Определение амплитуды   и начальной фазы   этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t = 0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным . Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов: . Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения   и   из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения  путем формального учета угловой частоты:  .