34. Понятие о напряжениях

Брус может выдержать большую или меньшую нагрузку в зависимости от толщины или от свойств его материала. Необходимо ввести физическую величину (или характеристику), позволяющую учесть эти особенности работы конструкции под нагрузкой. Рис. 1.14 Так как внутренние силы в большинстве случаев распределены по сечению неравномерно, то вводится характеристика их интенсивности, равная величине внутренних сил, приходящихся на единицу площади (рис.1.14). Эта характеристика называется напряжением в точке: (сигма) - нормальное напряжение, действует по нормали (перпендикуляру) к площадке; (тау) - касательные напряжения, они скользят по площадке, касаются ее (рис. 1.15). Размерность- ньютон на квадратный метр (паскаль) и мегапаскаль (МПа) Рис. 1.15

Напряженное состояние в точке тела – совокупность напряжений, действующих по бесчисленному множеству площадок, которые можно провести через данную точку.

Главные площадки – площадки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения – напряжения, действующие на главных площадках.

Виды напряженного состояния в точке:

а) линейное напряженное состояние – когда два главных напряжения равны нулю (одноосное растяжение или сжатие);

б) плоское напряженное состояние – когда только одно из главных напряжений равно нулю;

в) объёмное напряженное состояние – когда все три главных напряжения отличны от нуля.

полные нормальные и касательные напряжения

Понятие о напряжениях

И спользуя метод сечений, мы определяем во всех случаях внутренние усилия в виде сосредоточенных равнодействующих сил и моментов. В действительности внутренние усилия по характеру приложения являются распределенными и в общем случае они не одинаковы по поперечному сечению. Рассмотрим правую часть тела (рис.1.7б). Выделим на плоскости сечения площадку F; по этой площадке будет действовать внутренняя сила R (рис.1.9а).

Величина отношения R/F = р_ср называется средним напряжением на площадке F. Истинное напряжение в точке А получим устремив F к нулю:

.

Это напряжение называется полным напряжением в данной точке и в общем случае оно направлено под некоторым углом к плоскости сечения. Спроектировав полное напряжение на внешнюю нормаль n к сечению, получим нормальное напряжение в точке А , проекция полного напряжения на плоскость сечения даст касательное напряжение в точке А (рис.1.9б), где . - угол между направлением р и внешней нормалью n (для попе речного сечения направление внешней нормали n совпадает с направлением оси z).

Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг о т друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения.

Очевидно, что . Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осей ОХ и ОУ (_zх, _zу). Размерность напряжений - Н/м3.

Если вокруг точки А мысленно вырезать параллелепипед, то по его граням будет действовать совокупность напряжений, показанных на рис.1.10.

 

Связь напряжений с внутренними силовыми факторами.

Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении тела связаны определенным образом с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Если рассмотреть элементарную площадку dF поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке напряжениями , _х, _у, получим, что на площадку dF действуют элементарные силы dF, _хdF_уdF. Тогда можно записать следующие интегральные зависимости:

Правила знаков для напряжений и внутренних сил

В сопротивлении материалов принято следующее правило знаков для напряжений.

Н ормальное напряжение σ считается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью к площадке и отрицательным, если его направление обратно.

Касательные напряжения  считаются положительными, если вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью и отрицательными - в противном случае (рис.1.11).

Так как между напряжениями и внутренними усилиями существует интегральная связь, то правило знаков для внутренних силовых факторов обусловлено принятым правилом знаков для нормальных σ и касательных напряжений τ. Моменты приняты положительными, как и ранее, если они действуют против хода часовой стрелки. На рис.1.12 на левой отсеченной части показаны положительные направления внутренних силовых факторов N,Q_y,M_x,M_к, на правой, согласно условиям равновесия, внутренние усилия указываются в противоположном направлении.

Понятия о перемещениях и деформациях

Под действием внешних сил любое тело деформируется, т.е. его форма и размеры изменяются, а точки тела меняют положение в пространстве. Пусть имеется тело с приложенными к нему силами Р_i. Мысленно через точку а в направлениях осей у и z проведем бесконечно малые отрезки ав и ас, длины которых dy и dz. После деформации бруса отрезки примут положение, изображенное штриховой линией (рис.1.13). Точка а переместится в положение а₁. Величина аа₁, равная изменению координат точки называется линейным перемещением точки а. Отрезки ав и ас займут новые положения а₁в₁ и а₁с₁. Их длины изменяются на Δdy и Δdz и называются абсолютными линейными деформациями. Угол между начальным положением отрезка ав и конечным - а₁в₁ - называются угловым перемещением. Линейные перемещения измеряются в единицах длины, угловые - в радианах или градусах. Отношение приращения длины отрезка к его начальной длине представляет собой относительную линейную деформацию, т.е. . Аналогично . Линейные деформации величины безразмерные. Изменение первоначально угла между отрезками ав и ас после приложения к телу нагрузки, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию .

Совокупность линейных деформаций  по различным направлениям и угловых деформаций  по различным плоскостям, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точке.

Внутренние силы. Метод сечений

В нутри любого материала имеются внутренние межатомные силы. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение (увеличение или уменьшение) их, т.е. появление дополнительных внутренних сил. Дополнительные силы взаимодействия, возникающие внутри объекта под действием внешних сил, называются в сопротивлении материалов внутренними силами.

Для определения внутренних усилий используется метод сечений.

Сущность метода заключается в следующем. Пусть некоторое тело находится в равновесии под действием системы внешних сил (рис.1.7а).

Рассечем (мысленно) тело на две части плоскостью, перпендикулярной продольной оси тела (поперечным сечением).

Отбросим правую или левую часть тела. Чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, по плоскости сечения должны действовать внутренние силы.

Заменим действие одной части на другую внутренними силами (рис.1.7б). Эти внутренние силы по характеру приложения - распределенные, в общем случае они не одинаковы по всему сечению. Внутренние силы могут быть приведены к их равнодействующим: главному вектору - R и главному моменту – М.

Рассмотрим правую часть. Введем ортогональную систему координат с началом в точке О, причем ось z пусть совпадает с продольной осью тела, а оси x и y - с главными центральными осями инерции поперечного сечения (о них будет сказано ниже). Разложим главный вектор R и момент М по осям (рис.1.8). Получим шесть составляющих, которые называются внутренними силовыми факторами (В.С.Ф):

N - продольная (нормальная) сила, проекция вектора R на ось z;

Q_x, Q_y- поперечные силы, проекции вектора R на оси x,yсоответсвенно;

M_z=M_к - крутящий момент, составляющая момента M вокруг оси z;

M_x, M_y- изгибающие моменты, составляющие момента M вокруг осей x, yсоответственно.

Уравновесим отсеченную часть. Так как отсеченная часть тела находится в равновесии, то для определения шести неизвестных В.С.Ф. составим шесть уравнений статического равновесия:

из которых поочередно определяются все В.С.Ф.:

- нормальная сила равна сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть, на продольную ось z;

- поперечные силы равны по величине суммам проекций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть, на оси x и y соответственно;

- крутящий момент равен сумме внешних моментов, действующих на отсеченную часть, относительно оси z;

; - изгибающие моменты равны суммам внешних моментов, действующих на отсеченную часть, относительно осей х и у соответственно.

Для наглядного представления о характере работы конструкции строят графики изменения В.С.Ф. по длине бруса (вдоль оси z). Такой график принято называть эпюрой (от французского слова épure – чертеж).