2. Колебаний, имеющих собственную частоту k , амплитуда которых определяется воздействием возмущающей силы и не зависит от начальных условий:

3. Вынужденных колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы и не зависящих от начальных условий:

Резонанс

Рассмотрим движение точки в том случае, когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, т.е. при p = k. Явление совпадения частот возмущающей силы и собственных колебаний называется резонансом. Дифференциальное уравнение (21) движения точки под действием восстанавливающей и возмущающей сил имеет вид

X`+ k2 x = hsin pt (21)

Частное решение этого уравнения при резонансе (k = p) следует искать в виде:

X2= At sin (pt + γ )

Для определения постоянных А и γ вычислим сначала вторую производную x``2.

X`2 = Asin ( pt +γ) + Atp cos (pt +γ)

X``2(внизу, степень) = 2 Ap cos (pt +γ) – Atp2(в квадрате) sin (pt +γ)

Подставим значения х и x`` в уравнение (3.21):

2Ap cos( pt + y ) – Atp2 sin( pt + y) + Atk2 sin( pt + y) = h sin pt

Здесь p = k, значит 2Ap cos( pt + γ ) = hsin pt , или 2Ap cos pt cosγ − 2Apsin ptsinγ = hsin pt .

Это равенство удовлетворяется тождественно, если равны коэффициенты, стоящие перед одинаковыми тригонометрическими функциями в левой и правой его частях: − 2Ap sinγ = h,

2Ap cosγ = 0 .

Отсюда, принимая, что А > 0, получаем A = h/2p γ = - π⁄2.

Окончательно уравнение вынужденных колебаний при резонансе принимает вид:

Как следует из этого уравнения амплитуда вынужденных колебаний, с течением времени неограниченно возрастает, причем рост амплитуды пропорционален времени (рис.14). Частота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте периода свободных гармонических колебаний, а фаза колебаний по отношению к фазе возмущающей силы отстает на π/2.

25.

(собственные колебания) и частного решения (вынужденные колебания).

С течением времени собственные колебания затухают, и движение материальной точки подчиняется не зависящему от начальных условий закону вынужденных колебаний. Влияние сопротивления среды и частоты возмущающей силы качественным образом сказывается на изменении амплитуды и частоты вынужденных колебаний.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты.

26. Механическая система обладает определённым числом степеней свободы, а её состояние описывается с помощью обобщённых координат и соответствующих им обобщённых импульсов ., механические системы по характеру взаимодействия с окружением разделяются на изолированные (замкнутые), закрытые и открытые, по принципу изменения свойств во времени — на статические и динамические.

Внешние силы—это силы, действующие на тело извне. Под влиянием внешних сил тело или начинает двигаться, если оно находилось в состоянии покоя, или изменяется скорость его движения, или направление движения

Внутренними силами являются силы, действующие между частицами, эти силы оказывают сопротивление изменению формы.

Благодаря этому внутренние силы обладают следующими двумя свойствами.

Свойство 1. Главный вектор всех внутренних сил системы в любой момент времени равен нулю.

Свойство 2. Главный момент всех внутренних сил системы (относительно всякого выбранного центра О) в любой момент времени равен нулю

Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело.

Центром масс системы называется геометрическая точка, радиус-вектор которой, определяется формулой:

27. Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Теорема об изменении количества движения МС: Изменение количества движения механической системы за какой-либо промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

И́мпульс си́лы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (в поступательном движении).

За конечный промежуток времени эта величина равна определённому интегралу от элемен­тарного импульса силы, где пределами интегрирования являются моменты начала и конца промежутка времени действия силы. В случае одновременного действия нескольких сил сумма их импульсов равна импульсу их равнодействующей за то же время.

Во вращательном движении момент силы, действуя в течение определённого времени, создаёт импульс момента силы. Импульс момента силы — это мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вра­щательном движении):

где  — векторное произведение

28. Работа силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение M0M1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F×s×cosa, где s = M0M1, a — угол между направлениями силы и перемещения. Когда a £ 90°, Работа силы положительна, при 180° ³ a > 90°—отрицательна, а когда a = 90°, т. е. когда сила перпендикулярна перемещению, А = 0. Единицы измерения P.: джоуль, эрг (1 эрг = 10-7 дж) и килограмм-сила на метр (1 кгс×м = 9,81 дж). В общем случае для вычисления Работа силы вводится понятие элементарной работы dA = F×ds×cosa, где ds — элементарное перемещение, a — угол между направлениями силы и касательной к траектории точки её приложения, направленной в сторону перемещения (рис. 2).

В декартовых координатах

dA = Fxdx + Fydy + Fzdz, (1)

где Fx, Fy, Fz — проекции силы на координатные оси, х, у, z — координаты точки её приложения. В обобщённых координатах

dA = åQidqi, (2)

где qi — обобщённые координаты, Qi — обобщённые силы. Для сил, действующих на тело, имеющее неподвижную ось вращения, dA = Mzdj, где Mz — сумма моментов сил относительно оси вращения, j — угол поворота. Для сил давления dA = pdV, где р — давление, V — объём.

Работа силы на конечном перемещении определяется как интегральная сумма элементарных Работа и при перемещении M0M1 выражается криволинейным интегралом: или

Для потенциальных сил dA = —d П и A = П0 — П1, где П0 и П1 — значения потенциальной энергии П в начальном и конечном положениях системы; в этом случае Работа не зависит от вида траекторий точек приложения сил. При движении механической системы сумма работ всех действующих сил на некотором перемещении равна изменению её кинетической энергии Т, т. е.

åAi = T1 - T0.

Мощность — физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

Теорема об измерении кинетической энергии материальной точки и механической системы:дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе сил, приложенных к точке.

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы. Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы.

Теорема Кёнига: кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

29. теорема об изменении количества движения материальной точки: Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме (главному вектору) действующих на точку сил.

теорема об изменении количества движения механической системы: Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме (главному вектору) всех внешних сил, действующих на систему.

30.Динамика – это раздел теоретической механики изучающий движения материальных точек и твёрдых тел под действием приложенных к ним. В динамике решают две задачи. Эти задачи называются первой или прямой, второй или обратной. Обратная задача является основной. Прямой задачей, по заданным законам движения, определяют силы и моменты сил. Во второй задаче, по приложенным силам и моментам, вычисляют законы движения, Динамика базируется на трёх законах.

Первый закон: Материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на неё не действуют силы или действующие силы на точку уравновешены.

Второй закон(второй закон Ньютона): Материальная точка массы m, движется ускоренно под действием приложенных к ней сил.

Третий закон: Если одна материальная точка действует на другую силой F1, то другая будет действовать с силой равной по модулю F1, направленную противоположно вдоль прямой, соединяющей эти точки.

уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z, где Mz – момент силы, Lz – момент импульса, Jz – момент инерции тела относительно оси z, - угловое ускорение

Это уравнение называют основным уравнением динамики поступательного движения системы тел.

Так как импульс системы , то

Отсюда можно по-другому записать основное уравнение динамики поступательного движения системы тел:

здесь – ускорение центра инерции.

Уравнение относительное mwr=F+(-mwe)+(-mwc)+R.(1.1)

Векторы

Фe=-mwe , Фc=-mwc (1.2)

называют относительно переносной и кориолисовой силами инерции.

Если обозначения (1.1) использовать в уравнении (1.2),то оно приобретет привычную форму основного уравнения динамики (второго закона Ньютона)

mwr=F+R+Фe+Фc .