22 Вопрос ... Свободные колебания материальной точки без учета сил сопротивления. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Пусть на материальную точку действует сила, прямо пропорциональная отклонению точки от положения равновесия и направленная в сторону, противоположную этому отклонению (рис.1).

Восстанавливающей называется сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия: F = −cOM , где с – коэффициент пропорциональности. Направим ось х по линии действия силы, выбрав начало отсчета в положении равновесия точки. Проекция восстанавливающей силы на ось х равна Fx= -cx. В начальный момент при t =0, координата точки x = х0, начальная скорость х=х0 Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием восстанавливающей силы имеет вид

Разделим обе части этого уравнения на m, обозначим , в результате получим дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей силы:

Уравнение (1) – однородное линейное уравнение второго порядка. Для его решения запишем соответствующее характеристическое уравнение r2 - k2 = 0 (r,k в квадрате), корни которого r1,2 = ± ki . Так как корни характеристического уравнения r1 и r2 являются мнимыми, то решение уравнения (3.1) записывается в виде: х=С1coskt + C2sinkt

Это решение можно представить в виде: x = аsin(kt +α). (3)

Распишем синус суммы двух углов в уравнении (3) и получим x = аcosα sin kt + asinα coskt

Заменим asinα,= С1 acosα. = С2 , получим уравнение в форме (2). Таким образом, под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону: x = аsin(kt +α).

Такое движение называется свободными гармоническими колебаниями материальной точки.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение точки от положения равновесия, равное а. Фазой колебаний называется аргумент (kt+α), где α - начальная фаза.

Частота гармонических колебаний (4)

Определим амплитуду и начальную фазу колебаний. Скорость колебаний равна x` = ak cos(kt +α). (5)

Подставим в уравнения (3) и (5) начальные условия: t = 0, х = x0 , х` = x`0 , получим: x0 = asina; x`0 = akcosa .

Отсюда (6)

Таким образом, амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями движения точки.

Периодом колебаний называется наименьший промежуток времени Т, по истечению которого движение точки полностью повторяется, т.е. точка проходит одно и то же положение в одном и том же направлении, следовательно, координаты точек по истечению времени Т совпадают: x = a sin( kt +α ) = a sin( kt + T +α ) .

Это равенство справедливо, если kt + T +α = kt +α + 2π . Следовательно, период колебаний равен T= 2п/k. (7) Откуда k= 2п/T. (8)

Частота k определяет число полных колебаний точки за время, равное 2π секундам. Частота k не зависит от начальных условий движения, поэтому ее называют собственной частотой гармонических колебаний

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение

Гармоническое колебание — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

или

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд

— полная фаза колебаний,

— начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

или .

Последнее соотношение носит название основного уравнения гармонических свободных колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид

.