Представление логических функций

Набор логических функций называется функционально полной системой, если любую функцию алгебры логики можно записать в виде формулы через эти функции. Примеры полных систем:

Первичные термы. Переменные х_р и их инверсии х_р называются

первичными термами, для которых используется символическое обозначение степени:

_х«р [ ^хр , ^{если е}р =

^р [ хр, если е_р = 1.

Данное символическое обозначение объединяет в одном символе оба первичных терма х_р и х_р.

Только благодаря введению данного символического обозначения удается формализовать вывод общих соотношений для переключательных функций. Очевидно, что два первичных терма хр и

х^е' равны только в том случае, если е_р = е'_р (если е_р ф е'_р, то е_р = е'_р). Для

первичных термов справедливы соотношения:

^хр = ^х р = ^хр, ^х р = ^хр = ^хр;

-у У -у У V •

р

Xр^Р■Xр^Р = 0, х_р^р + хр^р = 1;

0, если х = е

^х р ⁼

^р '1, если х_р = е_р.

Минтермом (конституентой единицы) называется функция п переменных вида:

Таким образом, любой минтерм принимает значение 1 при единственном из всех возможных наборов аргументов и значение 0 при всех остальных.

Макстерм (конституента нуля) - это функция п переменных

Таким образом, макстермы - это функции, принимающие значение 0 в одном из возможных наборов V I и 1 при всех других.

Число переменных (аргументов), входящих в минтерм или макстерм, называется его рангом.

Функция в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) является логической суммой минтермов.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) - это такая ДНФ, в которой каждый член суммы содержит ровно по одному разу все имеющиеся переменные (или их инверсии) и не содержит двух одинаковых слагаемых.

Пример: х1 • х2 • хз + х1 • х2 • х^ + х1 • х^ • х^ .

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) является логическим произведением элементарных дизъюнкций (макстермов).

Пример: (х₁ + х₂ + х₃) • (х₁ + х₂).

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) представляет такую конъюнктивную нормальную форму, в которой в каждом сомножителе все переменные или их инверсии встречаются по одному разу и нет двух одинаковых сомножителей.

Пример: (х₁ + х₂ + х₃) • (х₁ + х₂ + х₃) • (х₁ + х₂ + х₃).

Г

Запись логической функции по таблице

Любая логическая функция может быть выражена в виде СДНФ или СКНФ

В общем виде переход от табличной формы функции п аргументов х₁, х₂, ... х_п к СДНФ (правило записи функции по единицам) можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Выбрать те наборы аргументов, на которых /(х₁, х₂, ... х_и) = 1.

2. Выписать все конъюнкции (логические произведения) для этих наборов. Если при этом х, имеет значение «1», то этот множитель пишется без инверсии, если «0» - то с инверсией.

3. Все конъюнктивные члены соединить знаком дизъюнкции (логического сложения).

Аналогично можно записать алгоритм перехода от табличной формы задания функции к СКНФ (правило записи функции по нулям).

1. Выбрать те наборы аргументов, на которых Г(х₁, х₂, ... х_и) = 0.

2. Объединить дизъюнкцией логические переменные. Если при этом х_{ имеет значение «0», то переменная остается без изменений. Если «1», то она берется с отрицанием.

3. Все дизъюнктивные члены соединить знаком конъюнкции (логического умножения).