Лекция 4. Алгебра логики и логические функции

Основные положения алгебры логики

(4.1)

Основными понятиями алгебры логики являются логический аргумент и логическая функция. Логический аргумент (или высказывание) в зависимости от смысла может принимать значение «истина» или «ложь». Это соответствует значениям «1» и «0». Логический аргумент входит в состав сложного высказывания - логической функции, зависящей от истинности или ложности аргумента. Логическая функция также принимает значения «1» или «0».

К основным логическим операциям в алгебре логики относятся дизъюнкция (ИЛИ, логическое сложение, «+», «v»), конъюнкция (И, логическое умножение, «•», «л») и отрицание (НЕ, инверсия, х). Кроме того, определено отношение эквивалентности (=). Оно удовлетворяет свойству рефлексивности: х = х, симметричности: если х = у, то у = х; и транзитивности: если х = у и у = 2, то х = 2. Это соотношение дает принцип подстановки: если х = у, то в любой формуле, где есть х, можно заменить его на у, и будет получена эквивалентная формула.

Логическая функция от п аргументов может быть задана таблицей, в которой перечислены все возможные наборы из 0 и 1 длины п и для каждого из них указано значение функции. Наборы обычно перечисляются в порядке возрастания чисел, двоичными записями которых они являются. В табл. 4.1 приведен пример логической функции от трех аргументов.

Таблицы для функций от п аргументов х₁, ..., х_п имеют 2^п строк (по числу двоичных наборов длины п). Различные таблицы отличаются лишь последним столбцом и, поскольку количество различных

двоичных столбцов длины 2^п составляет 2 , число функций от п

22п

аргументов х₁, ..., х_п равно 2 . В это число включены все возможные функции, в том числе и те, которые зависят от некоторых аргументов фиктивно.

Логическое отрицание,или инверсия.Инверсия логической переменной истинна (равна 1), если сама переменная ложна (равна 0), и, наоборот, инверсия ложна (равна 0), если переменная истинна (равна 1).

Если у функции 3 аргумента, то число возможных функций возрастает до 256, но в соответствии с законами алгебры можно представить их в виде функций двух аргументов, поэтому более сложные логические функции задаются с помощью более простых функций одного или двух аргументов. Для выражения сложных логических функций используют более простые, и оказывается, что можно использовать не все элементарные функции, а только часть.

Логическое умножение, или конъюнкция.Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда обе логических переменных истинны (принимают значение логической 1). Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных конъюнкцией: х₁ • х₂ • х₃ = 1, только если х₁ = 1, х₂ = 1, х₃ = 1.

Логическое сложение, или дизъюнкция. Дизъюнкция двух логических переменных ложна(равна логическому 0) тогда и только тогда, когда обе переменных ложны (принимают значение 0).

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией: х₁ + х₂ + х₃ = 0 , только если х₁ = 0, х₂ = 0, х₃ = 0.

Следующие логические законы можно назвать свойствами дизъюнкции.

Импликация или логическое следование Высказывание х₁ ^ х₂ ложно в том и только в том случае, когда условие (первое высказывание х₁) истинно, а следствие (второе высказывание х₂) ложно.Импликацию можно представить через дизъюнкцию и инверсию: Свойства импликации:

х ^ 0 — х ;

х ^ х — 1;

0. ^ х — 1;

1. ^ х — х .

Эквивалентность или равнозначность (от фр. <^шуа1епсе» - равноценность). Выражение х_х ^ х₂ истинно (равно 1) в том и только в том случае, когда оба исходных высказывания одновременно истинны (равны 1) или одновременно ложны (равны 0).Эквивалентность можно представить через конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию х_х ^ х₂ — х_х • х₂ + х_х • х₂ . Свойства эквивалентности:

х о- х — 1; х ^ х — 0; х ^ 0 — х ; х о- 1 — х .

Строгая дизъюнкция, или Сложение по модулю «2». Выражение x ф х₂ истинно (равно 1) в том и только в том случае, когда переменные х₁ и х₂ не равны между собой.

Представление сложения по модулю два через конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию х₁ Ф х₂ — х₁ • х₂ + х₁ • х₂ .

Сравнив таблицы истинности операций эквивалентности и сложения по модулю 2, можно сделать вывод, что эти операции являются инверсией друг друга, то есть х₁ ^ х₂ — х₁ Ф х₂ .

Свойства строгой дизъюнкции:

х Ф х = 0; х Ф х — 1; х Ф 0 = х; х Ф1 = х .