3. Свободные колебания математического маятника

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой нити, массой которой можно пренебречь (рис.7). Обозначим l длину нити. Положение материальной точки будем определять криволинейной координатой s (углом φ) в естественных осях координат.

Рис.7

На тело действуют: сила натяжения нити и сила тяжести. Основное уравнение динамики спроецируем на тангенциальную ось:

; ;

; ;

; ;

; .

При малых углах φ отклонения от положения равновесия будет справедливо:

.

Тогда

: ; ,

где ; .

4. Колебания материальной точки при наличии вязкого трения

Дифференциальное уравнение колебаний при действии восстанавливающей силы и силы сопротивления:

; ,

где .

Коэффициент k – круговая частота – характеризует восстанавливающую силу, а коэффициент h характеризует силу сопротивления. Эти коэффициенты сопоставимы и имеют размерность 1/с.

Колебательный процесс существенно зависит от соотношения величин h и k.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай малого сопротивления (h<k). Уравнение движения:

,где .

График, характеризующий данные колебания представлен на рис.8.

Рис.8

Из графика видно, что рассматриваемое движение является затухающим. Влияние силы сопротивления выражается в том, что амплитуда колебаний уменьшается в геометрической прогрессии со знаменателем

,

где период затухающих колебаний

во все время движения остается постоянным.

Величина η называется декрементом колебаний (фактором затуханий). Рассматривают также логарифмический декремент колебаний:

.

При т.н. граничном случае, когда , и случае больших сопротивлений, когда , материальная точка не совершает колебаний.

5. Вынужденные колебания

Пусть на материальную точку действуют восстанавливающая сила и возмущающая сила . При этом величина k будет являться угловой частотой собственных колебаний, а величина p – угловой частотой вынужденных колебаний.

Дифференциальное уравнение колебаний:

;

,

где - приведенная амплитуда возмущающей силы.

Уравнение движения в зависимости от соотношения величин k и p имеет различный вид. В случае, когда ,

,

где , - постоянные интегрирования.

Амплитуда чисто вынужденных колебаний:

.

С другой стороны:

.

Величина называется коэффициентом динамичности. Данный коэффициент показывает, во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение при действии максимальной возмущающей силы H.

Рассмотрим случай, когда . Уравнение движения при этом будет такое же как и в предыдущем случае. График колебаний представлен на рис.9.

Рис.9

Такое движение называется биением.

Случай, когда . Уравнение движения:

.График колебаний представлен на рис.10.

Рис.10

При таком движении происходит неограниченный рост амплитуды со временем. Это явление носит название резонанса. При резонансе коэффициент динамичности стремится к ∞ (рис.11).

Рис.11

5.Динамика относительного движения материальной точки

Основное уравнение динамики относительного движения.

Пусть точка массой m (рис.1) совершает сложное движение. Движение подвижной системы отсчета и действующие на материальную точку силы известны.

Рис.1

Рассмотрим движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Основное уравнение динамики для абсолютного движения:

где - абсолютное ускорение точки. Из кинематики известно:

Подставив второе выражение в первое получим:

откуда

Полученное выражение есть основное уравнение динамики относительного движения материальной точки, из которого следует: относительное движение материальной точки происходит как и абсолютное под действием приложенных к точке сил, при условии, что к ним присоединены переносная и Кориолисова силы инерции.

При этом переносная и Кориолисова силы инерции это векторные величины численно равные произведению массы точки на ее переносное и соответственно Кориолисово ускорение. Направление сил инерции противоположно направлению одноименных им ускорений.

Получим дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки:

Особые свойства сил инерции.

В традиционном понимании, сила есть мера механического действия одного тела на другое. Что касается сил инерции, то следует иметь в виду:

первое - силы инерции зависят от характера движения системы отсчета;

второе - видимое отсутствие материальных тел, которые могли бы рассматриваться как источник сил инерции.

Принцип относительности классической механики

Если подвижная система координат движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то переносная и Кориолисова силы инерции будут равны нулю, и основное уравнение динамики относительного движения ничем не будет отличаться от основного уравнения динамики для абсолютного движения.

Таким образом движение точки по отношению к подвижной системе отсчета, движущейся, поступательно, прямолинейно и равномерно, происходит также, как и по отношению к неподвижной системе отсчета.

Никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить ее прямолинейного, равномерного и поступательного движения.

Условие относительного покоя.

Рассмотрим случай, когда материальная точка неподвижна относительно подвижной системы отсчета, т.е.

Тогда

Таким образом,

В случае, когда материальная точка находится в состоянии покоя относительно подвижной системы отсчета, то геометрическая сумма действующих на точку активных сил и переносной силы инерции равна нулю.

Методика решения задач

1. Установить, какое движение для точки является переносным, какое - относительным.

2. Изобразить активные силы, действующие на точку.

3. Определить переносную и Кориолисову силы инерции и присоединить эти силы к активным силам.

4. Составить дифференциальные уравнение относительного движения.

5. Проинтегрировать дифференциальные уравнения, определив постоянные интегрирования по начальным условиям движения точки.

6. Определить искомые величины.