23.Понятие об обобщенных координатах и степенях подвижности механических систем. Понятие обобщенной силы.

Понятия об обобщённых координатах и степенях подвижности механических систем.

Ранее, применительно к твёрдому телу, уже встречалось понятие «степень подвижности» (термин-синоним: «число степеней свободы»): у вращательно движущегося тела одна степень подвижности ( ); степень подвижности поступательно движущегося тела равна трём ( ); три степени подвижности также у плоско ( ) и сферически ( ) движущихся тел; степень подвижности свободно движущегося тела равна шести ( ).

Аналогично понятие степени подвижности и для механических систем. Но формулировку этого понятия предварим рассмотрением конкретного примера - рельсового подъёмного крана с поворотной платформой.

Вот некоторые из переменных, определяющих его положение:

для тележки с колёсами на рельсах - линейная координата (вдоль рельсового пути; обычно прямолинейная; бывает и криволинейной);

поворот платформы относительно вертикальной оси тележки - угол ;

поворот стрелы крана вокруг горизонтальной оси платформы– угол ;

длина выпущенной части троса (от груза до блока на стреле) - ;

углы между выпущенной частью троса и осями - ;

угловое положение барабана лебёдки - ;

имеется у крана много зубчатых пар; положение первого зубчатого колеса одной из них определяется углом , второго - ; и т.д.

Нашей целью является пояснение вводимых ниже терминов. Для этого 10-ти перечисленных переменных достаточно.

Среди них: линейно связана (через передаточное отношение – через отношение чисел зубцов) с ; связаны известной зависимостью - ; связаны между собой также и - , т.е. из 10-ти перечисленных в данном абзаце переменных независимых только 6 (мы имеем ввиду, что также линейно выражается через ).

Независимые параметры произвольной размерности, однозначно определяющие положение всех точек системы, число которых равно числу степеней свободы системы, называются обобщенными координатами q_i (q₁,q_{2, …,} q_s; s-число степеней свободы).

Степень подвижности принятой к исследованию механической системы - это число её обобщённых координат - .

Т. к. обобщенные координаты независимы друг от друга, то также будут независимы и их приращения ( ).

Возможно перейти от одной системы независимых координат (обобщенных) к любой другой.

При переходе от системы независимых координат к декартовой системе координат:

В свою очередь:

Значит и радиус-вектор .

Рассмотрим систему с одной степенью свободы.

О бобщенной координатой в этом случае может быть либо линейная величина – дуговая координата S, либо угловая величина – угол , либо площадь – секториальная площадь .

С истема с двумя степенями свободы:

При движении системы обобщенные координаты с течением времени изменяются.

кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах

Продифференцировав обобщенные координаты по времени получим обобщенные скорости ,

где и т. д.

Обобщенные скорости как и обобщенные координаты могут иметь различную размерность: м/с, рад/с, м²/с.

Т.е. быстроту изменения обобщённой координаты при действительном движении системы называют обобщённой скоростью и обозначают ;

ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОЙ СИЛЫ

Пусть система состоит из n точек. На систему действуют внешние активные силы F₁, F₂, …, F_n. Система имеет S степеней свободы. В соответствии с этим для нее можно задать S обобщенных координат q₁, q₂, …, q_s.

Предположим, обобщенная координата q₁ получила приращение , а все остальные координаты остались без изменения. В соответствии с этим радиус-вектор каждой точки получил приращение .

Суммарная работа всех внешних активных сил на этом перемещении:

Q₁ – обобщенная сила соответствующая первой обобщенной координате.

- для вычисления обобщенной силы.

Обобщенные силы численно равны коэффициенту при соответствующей обобщенной координате в уравнении работы.

Суммарная работа на общем перемещении при изменении всех обобщенных координат.

Обобщенные силы также как и обобщенные координаты и скорости имеют разные размерности: q – м – Q – H

q – рад – Q – Нм

q – м³ – Q – Н/м³

Методика определения обобщенных сил:

1. Определяем число степеней свободы системы

2. Выбираем обобщенные координаты в соответствии с числом степеней свободы

3. На схеме указываем все внешние активные силы и моменты

4. Сообщаем первой обобщенной координате возможное приращение (все остальное – без изменения)

5. Находим сумму работ всех внешних активных сил на этом перемещении

6. Коэффициент при обобщенной координате и будет являться обобщенной силой.

Случай потенциальных сил

Для возможных перемещений

Т. к. силовая функция равна потенциальной энергии со знаком минус U = - П, то

При действии на систему потенциальных сил обобщенные силы вычисляются как частные производные от силовой функции (или взятой со знаком минус потенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координатам.