Вопрос 35.
f(x)=e^x
,
вместо хєС
пишем хє(-∞
;+∞)
f`(x)=e^x, f``(x)=e^x и т.д...
f(0)=1, f`(0)=1 и т.д...
e^x~ 1+ x/ 1!+ (x)^2/ 2!+...+(x)^n/ n!+...
R=lim |an/an+1|=lim |(n+1)!/n!|= lim (n+1)= ∞, т.е ряд сходится в интервале
n→∞ n→∞ n→∞
(-∞ ;+∞ ). Для всех хє (-R;R) (где R – радиус сходимости) имеем |(f (x))^n|=e^x<e^R=M, тоесть все производные в этом интервале ограничены числом e^R=M, следовательно по теореме lim Rn=0, таким образом, e^x~ 1+ x/ 1!+ (x)^2/ 2!+... заменив в
n→∞
в формуле (1) х на -х, получим разложение функции.
e^(-x)= 1- x/1! + (x^2)/2! - (x^3)/ 3! -...+ (-1)^n*(x^n/n!)..., хє(-∞ ;+∞ )
Cуммируя (и вычитая) полученные равенства е^x и е^(-x) получим разложения:
f(x)=sh x
f(x)= ch x
36.Разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций f(x)=sinx:; f(x)=cosx .
. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.
Вычислим производные данной функции.
f′(x)=cosx=sin(x+
),
f″(x)=-sinx=sin(x+
),
f″′(x)=-cosx=sin(x+
),
f(4)(x)=sinx=sin(x+
),
…, f(n)(x)=sin(x+
), …
. Вычислим
значения f(x) и
производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1,f(4)(0)=0, …, f(2n-1)(0)=(-1)n-1, f(2n)(0)=0.
Исследуем остаточный член ряда.
|Rn(x)|=
=
так
как |sin(c+(n+1)
|≤1.
Переходя к
пределу
при n→∞, получаем 
следовательно, 
и 
.
Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞).
Таким
образом, имеет место разложение
при x
(-∞;+∞):
sinx=x-
. (*)
3. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (*), получаем разложение при x (-∞;+∞):
cosx=1-
.
37.Формула Эйлера.
Формула
Эйлера утверждает, что для любого вещественного
числа 
выполнено
следующее равенство:
,
где 
— основание
натурального логарифма,
— мнимая единица.
Доказательство
формулы Эйлера можно провести с
использованием рядов
Тейлора.
Разложим
функцию 
в
ряд Тейлора по степеням
.
Получим:
Но
Поэтому
39. Разложение в ряд Маклорена логарифмических функций "f(x)=ln(x+1)" "f(x)=ln(1-x)" "f(x)=ln((x+1)/(х-1))"
Разложение
логарифмической функции в ряд Маклорена
проводится по общему правилу, без
каких-либо особенностей, и ряд имеет
вид
(*)
Для
того чтоб его получить надо представит
ln(x+1)
в виде определённого интеграла (при
x>-1
«интеграл от 0 до х(писать)» dt/(1+t)
=
=1-t+t2-t3+…+(-1)n.tn+… , t (-1;1).
Проинтегрируем обе части равенства (37) от 0 до x при x (-1;1). Получим
или
ln(1+x)=x
.
Радиус
сходимости этого ряда равен
Для получения Ln(1-x) заменим х на –х
Переписываем (*) меняя все знаки на минусы
Ln(x-1)=-x-(x^2)/2-(x^3)/3-(4^4)/4-……..
Зная что ln(a/b)=lna-lnb;
Поэтому вычитаем предыдущие формулы:
ln((x+1)/(х-1))=2(x+(x^3)/3+(x^5)/5…….)