Вопрос 32.

СТЕПЕННОЙ РЯД

ТЕОРЕМА АБЕЛЯ.

Если степенной ряд сходится при х=х0≠0, то он абсолютно сходится, и при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|.

∞

∑an(x0)^n сх ряд по условию

n=0

lim an(x0)^n=0 => an(x0)^n ограничена

n→∞

М>0 для всех n выполняющих неравенство |an(x0)^n|≤M, n=0,1,2...

Пусть |x|<|x0|=> q=|x/xo|<1 => |an(x)^n|= |an(x0)^n|*|(x)^n/(x0)^n|≤M*q^n, n=0,1,2...

т.е модуль каждого члена не превосходит соответств. Члена сходящегося (q<1) ряда геометрической прогрессии=> по признаку сравнения при |x|<|x0|=> ряд абсолютно сходится.

СЛЕДСТВИЕ: Если ряд расходится х=х1, то он расходится и при всех х, удовлетв. Неравенству |x|>|x1|

ВОКАЗАТЕЛЬСТВО: Если допустить схождение ряда в точке х2, для которой |x2|>|x1| то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых |x1|<|x2| и ,в частности, в точке х1, что противоречит условию.

Интервал ( -|x0|;|x0| ) называют интервалом сходимости степенного ряда . R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е R>0- такое число, что при всех х, для которых |x|<R ряд абсолютно сходится, а при |x|>R ряд расходится.

R=lim |an/an+1|

n→∞

Вопрос 33.

СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.

Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).

∞ ∞

Степенные ряды ∑ an(x)^n и ∑bn(x)^n, имеющие радиусы сходимости

n=0 n=0

R1 и R2 соответственно , можно почленно складывать и вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разность рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда

S(x)=a0+a1x+a2(x)^2+...+an(x)^n+...

при -R<x<R выполняется

S`(x)=a1+2*a2x+3*a3(x)^2...+n*an(x)^(n+1)

Cтепенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположеннов внутри интервала сходимости; при этом для этого ряда при -R<a<x<R выполняется равенство:

х x x x x

∫ S(t)dt=∫a0dt+∫a1tdt+∫a2(t)^2dt+...+∫an(t)^ndt+...

а a a a a

эти ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд