21. Числовой ряд. Общий член ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Остаток ряда.

Выражение вида а₁+а₂+…+а_n+… Называется рядом.

a₁, a₂ – члены ряда; а_n – Общий член ряда, показывает закономерность составления ряда.

Частичная сумма ряда – сумма n членов ряда.

S1, S2, S3 … Sn

S1=a1

S2=a1+a2

…

Sn=a1+a2+…+An

Если последовательность частичных сумм имеет предел при n→∞,то ряд называется сходящимся, а предел S называется суммой ряда Sn = S.

Если предел частичных сумм не существует, то ряд расходится

a+aq+aq²…aqⁿ⁺¹+…, |q|<1

Sn = a/(1-q) ряд,у которого члены составляют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию всегда сходится.

Свойства сходящихся рядов

1)умножение членов ряда на постоянный множитель на сходимость ряда не влияет.

Доказательство:

Sn=a1+a2+…+аn

Sn = S

Сa1+Сa2+…+Саn = С(a1+a2+…+аn)=С*Sn

C*Sn = C* Sn = C*S – сходящийся ряд.

2)Сходящиеся ряды можно почленно складывать

a1+a2+…+аn+… сх.ряд

b1+b2+…+bn+… сх.ряд

доказать: (a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)+… сх.ряд

Доказательство:

An=a1+a2+…+аn+…

Bn=b1+b2+…+bn+…

An=A

Bn=B

(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+аn)+(b1+b2+…+bn)=An+Bn

(An+Bn)= An+ Bn=A+B. (доказано)

3)Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путём добавления или отбрасывания конечного числа членов.

a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+…+a_n – сх.ряд, отбросим 1-ые члены

a_k+1+a_k+2+…+a_n-k+… ДОКАЗАТЬ СХОДЯЩИЙСЯ ЛИ РЯД

доказательство:

Sn=S

S_k= a₁+a₂+…+a_k

S_n-k=S_n-S_k

S_n-k= (S_n-S_k)= S_n − S_k= S_n-S_k - сх.ряд

Разность между суммой ряда и частичной суммой есть ряд, называющийся остатком ряда.

S=a₁+a₂+…+а_n+a_n+1+a_n+2+…

Sn=a₁+a₂+…+а_n

S-S_n= a_n+1+a_n+2+…

r_n= a_n+1+a_n+2+…

Если ряд сходится, то и остаток ряда сходится.

Если сходится остаток ряда, то сходится и сам ряд.

21. Признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

Признак сходимости числового ряда.

Если ряд U_{n =} U1+U2+…Un+… сходится, то общий его член Un стремится к 0, т.е. U_n = 0.

Доказательство:

Пусть ряд ( U_{n =} U1+U2+…Un+…) сходится и S_n = S. Тогда и S_n-1 = S (при и ). Учитывая, что Un= S_n- S_n-1 и при n>1, получаем: U_n= (S_n- S_n-1)= = S_n - S_n-1=S-S=0.

Достаточное условие расходимости ряда

Если U_n ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд расходится.

Гармонический ряд.

= 1+ + + +…+ +…

Очевидно, что при U_n = 0 ряд сходится, однако данный ряд расходится.

Доказательство:

(1+ )ⁿ = e, следовательно, при любом n имеет место неравенство (1+ )ⁿ < e.

Логарифмируя это неравенство по основание е, получим:

n*ln(1+ )<1, т.е. >ln( ) → >ln(n+1) – ln(n).

Подставляя полученное неравенство поочерёдно n=1,2…,n-1,n-2…

1>ln2 , 1/2>(ln3-ln2), 1/3>(ln4-ln3), …… , > ln(n+1) – ln(n)

Сложив почленно эти неравенства получим S_n> ln(n+1).

Поскольку ln(n+1)=∞, получаем Sn=∞, то есть гармонический ряд расходится.

21. Знакоположительные числовые ряды. Признак сравнения (2 формы).

Если все члены ряда  положительны, то ряд называется знакоположительным.

Теорема 1

Пусть даны два знакоположительных ряда:

U_{n (1)} и V_{n (2)}

Если для всех n выполняется неравенство U_n≤ V_n , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Доказательство:

U_{n (1)}

V_{n (2)} – сх.

Доказать что ряд (1) сходится

V_n = V

U_n ≤ V_n

V_n < V

V₁,V₂, …, V_n …; u_n>0 и v_n>0

Если последовательность возрастает и ограничена, то она имеет U_n = U= U_n - cх. ряд.

Теорема 2

Если члены ряда не меньше соответствующих членов заведомо расходящегося ряда, то данный ряд тоже расходится.

a_n (1) a_n≥ b_n

b_n (2) – расх. Ряд a_n - доказать, что ряд расходится

Доказательство:

Bn=b₁+b₂+…+b_n

An=a₁+a₂+…+a_n

An≥Bn

Bn = ∞

An – тоже расходится