Вопрос 9.

Дифф-ия ур-ия второго порядка. Начальные условия. Частные и общее решения. Краевые условия.

Y’’=f(x,y,y’)- явное

F(x,y,y’,y’’)=0- не явное

YIx=x0=y0

Y’Ix=x0=y0’

Y’’=x

dy’/dx=x →∫dy’=∫xdx

Пример: y’=x^2/2+c1

dy/dx=x^2/2+c1

dy=(x^2/2+c1)dx

y=x^3/6+c1x+c2

YIx=2=2 y’Ix=2=3

Краевые условия- координаты двух точек M1(x1,y1), M2(x2,y2)

Y1=X1^3/6+c1x1+c2

Y2=X2^3/6+c1x2+c2

Разница между краевыми и начальными условиями:

Начальные условия: не решая уравнение можно сделать вывод о единственном решение.

Краевые условия: пока не решено уравнение до конца, ничего сказать нельзя

Вопрос 10

Дифф уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка: простейшие.

Y’’=f(x,y,y’)- общий вид дифф уравнения 2-го порядка.

F(x,y,y’,y’’)=0

1. Y’’=f(x) ∫dy’=∫f(x)dx

dy’/dx=f(x) y’=∫f(x)dx+c1

2. Y’’=f(x,y’)

Y’=z(x)→y’’=z’

Z’=f(x,z)

Z=……

Пример: y’’+1/xy’=1

Z’+1/xz=1

Z=uv→ далее по 2ому типу

3)y’’=f(y,y’)

Y’=P(y)

Y’’=dp/dx*dy/dy=dy/dx*p/dy=p*dp/dy

Пример: yy’’+y’^2=0

Yp*dp/dy+p=0

dp/p=-dy/y - ур-ие с разделяющ переменными.

lnIpI=-lnIyI+lnIc1I

p=c1/y→ опять решаем дифф ур-ие 1го порядка

Дифф, уравнение n-го порядка

F(x,y,y’,y’’,…,y^(n-1))=0, если можно разрешить относительно старшей производной

YIx=x0=y0, Y’Ix=x0=Y0’, Y”Ix=x0=y0’’……….. Y^(n-1)Ix=x0=y0^(n-1)

Общее решение Дифф уравнения n-го

Y=ϕ(x,c1,c2,…,Cn,) n-произвольных, не зависящих от х постоянных

ВОПРОС 10

Диф. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.(простейший случай)

Y”=f(x,y,y’) – общий вид диф. уравнения 2-го порядка.

F(x,y,y’,y’’)=0

1) y’’=f(x); ; =f(x); y’=

ВОПРОС 11

Диф. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка(случай когда нету y)

Y”=f(x,y,y’) – общий вид диф. уравнения 2-го порядка

2) y’’=f(x,y’); y’=z(x) следовательно y’’=z’=f(x,z)

Пример

Y’’+ =1;

z’+ =1 дальше по 2 типу (?)

ВОПРОС 12

Диф. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка(случай когда нету x)

Y”=f(x,y,y’) – общий вид диф. уравнения 2-го порядка

3) y’’=f(y,y’)

y’=p(y); y’’= * *

Пример

y y’’+y’²=0; y P + P=0

dP/P=-dy/y уравнение с разделяющ. переменными.

Ln|p|=-ln|y|+ln|C1|

P=C1/y; y=C1/y след-но решаем дифф. ур-е первого порядка.

ВОПРОС 13

Линейные дифф. уравнения 2-го порядка без правой части. Теорема о решении уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.

y’’+a₁(x)y’+a₂(x)y=0 ЛОДУ

*ТЕОРЕМА: Если функция y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) являются частными решениями ЛОДУ, то решением так же является функция: y=C₁y₁(x)+C₂y₂ , где C₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Доказательство: Подставим ф-ию y=C₁y₁(x)+C₂y₂ и её производные в левую часть ЛОДУ. Получим:

(C₁y₁+C₂y₂)’’+a₁(x)(C₁y₁+C₂y₂)’+a₂(x)(C₁y₁+C₂y₂)= C₁y₁^’’+C₂y₂^’’+ a₁(x)(C₁y₁’+C₂y₂’)+a₂(x)(C₁y₁+C₂y₂)=

=C₁(y₁’’+a₁(x)y₁’+a₂(x)y₁)+ C₂(y₂’’+a₁(x)y₂’+a₂(x)y₂)=C₁*0+C₂*0=0. Т.к. y₁ и y₂ – решение уравнения, то выражение в скобках тождественно равно 0.

Следствием изучения линейной зависимости системы ф-ций является так называемый определитель Вронского (Ю. Вронский – польский математик).

Для двух дифф-мых функций y1=y1(x) и y2=y2(x) вронскиан имеет вид W(x)=

*ТЕОРЕМА: Если дифф функции y1=y1(x) и y2=y1(x) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этот интервале тождественно равен нулю

*ТЕОРЕМА Если функции y1(x) и y2(x) – линейно независимые решения уравнения ЛОДУ на (a,b), то определитель нигде не обращается в ноль.

Совокупность решений y1 и y2 образуют фундаментальную систему решений, если они линейно не зависимы.

Если y1 и y2 образуют фундаментальную систему, то y=C₁y₁+C₂y₂ – есть общее решение уравнения y’’+a₁y’+a₂y=0.