Понятие двойного интеграла теорема сущ-ния

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. , где k - константа;

4. Если   в области R, то  ;

5. Если   в области R и   (рисунок 4), то  ;

6. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то  .  Здесь   означает объединение этих двух областей.

Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл   от функции одной переменной   выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R 

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (оооооооооо)

кобиан такого преобразования имеет вид

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):

Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой

 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для правильной области

Пусть область D - правильная в отношении оси Ох (рис. 2.6.)

Тогда в этом случае область D может быть задана одной системой неравенств:

 

Если существует двойной интеграл (это возможно, например, если f(x; y) непрерывна на D), то его можно вычислить через повторный кратный интеграл так:  При этом внутренний интеграл по у находится при постоянном х.

Данное представление (2.11) получается из определения двойного интеграла при специальном способе разбиения области D на n "мелких" частей (линиями, параллельными либо Ох, либо Оу - прямоугольной "шахматной" сеткой. А затем выполняется суммирование "объёмов" ΔV_i сначала по оси Оу, а затем по оси Ох).

23.5. Приложения двойных интегралов 23.5.1. Геометрические приложения

Вычисление площадей плоских фигур

Пример:

Определим точки пересечения кривых: х-2- + х - 2 = О,

 = -2;1; (-2,-2), (1, 1) (рис. 23.9).

Рис. 23.9

Рис. 23.10

Вычисление объемов цилиндрических тел

 (см. разд. 23.1).

Пример:  (рис. 23.11). V = ?

 

Замечание. Если тело, объем которого нужно найти, ограничено сверху поверхностью а снизу причем проекцией обеих поверхностей на плоскость XOY является область D, то объем V этого тела (рис. 23.11) вычисляется по формуле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть задана область VXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V  и на ее границе задана функцияf (x,y,z).   Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V  на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей): здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;  Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,  i = 1,...,n;  — ранг разбиения;  – диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то   существует.

Механическая трактовка тройного интеграла

Если f (x,y,z)  0 — это объемная плотность распределения вещества в области V, то   — это масса всего вещества в трехмерной области V.

 Основные свойства тройного интеграла

Аналогичны свойствам определенного интеграла по отрезку   и двойного интеграла по области D.

 

Свойство 1 (линейность тройного интеграла по подынтегральной функции)

 

,

где  — постоянные множители по x, y, z.

 

Свойство 2 (аддитивность тройного интеграла по области интегрирования)

 

Если V = V1  V2,       то  .

 

Свойство 3 (о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице)

 

Если подынтегральная функция f(x,y,z)  1 для  , то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:

(здесь область V и её объём V обозначены одной буквой).

Свойство 4 (оценки значения тройного интеграла)

 

Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в замкнутой области V, то 

Если  |f(x,y,z)|  при (x,y,z)V, то 

 

Свойство 5 (теорема о среднем значении подынтегральной функции)

 

Если функция f (x,y,z) непрерывна в области V, то существует хотя бы одна точка P0(x0;y0;z0)V  такая, что

При этом число   называется средним значением

функции f(x,y,z) по области V.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

 

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла.

                

В декартовых координатах область V, правильная в направлении оси OZ, записывается системой неравенств

,

где D – это проекция области V на плоскость XOY, а поверхности   и   ограничивают область V соответственно снизу и сверху (Рис. 6).

Если двумерную область D также записать системой неравенств  , то трехмерная область V запишется системой трех неравенств  

Тогда тройной интеграл сводится сначала к двойному, а затем к трёхкратному с учётом того, что в декартовых координатах dV = dxdydz;

формула сведения тройного интеграла к трехкратному интегралу имеет следующий вид:

(1)

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

Пример 1 (вычисление тройного интеграла в декартовых координатах)

Вычислить  , где область V ограничена поверхностями  .

Решение

Запишем область V системой трёх неравенств:

 

Сводим тройной интеграл к трехкратному по формуле (1) в соответствии с системой

неравенств и вычисляем трехкратный интеграл:

  .

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.  Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U: Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: Предполагается, что выполнены следующие условия: Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными; Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw; Якобиан преобразования I (u,v,w), равный отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U. Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где  ρ − длина радиуса-вектора точки M; φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора   на плоскость Oxy и осью Ox; θ − угол отклонения радиуса-вектора   от положительного направления оси Oz (рисунок 1). Рис.1 Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.  Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид: Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем Соответственно, абсолютное значение якобиана равно Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид: Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет видf (x2 + y2 + z2).  Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами В этом случае якобиан равен

Криволинейные интегралы первого рода

Определение Пусть кривая C описывается векторной функцией  , где переменная s представляет собойдлину дуги кривой (рисунок 1).  Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл   называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как Криволинейный интеграл   существует, если функция F непрерывна на кривой C. Рис.1 Рис.2 Свойства криволинейного интеграла первого рода Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами: Интеграл не зависит от ориентации кривой; Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точкеB и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться криваяC1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением   и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением  , то Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением  , то В полярных координатах интеграл   выражается формулой где кривая C задана в полярных координатах функцией  .

Формула Грина связывает двойной интеграл по плоской области с криволинейным интегралом по контуру этой области.

Пусть функции P(x,y), Q(x,y), P'_y(х,у), Q'_x(х,у) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L (рис. 3.6).

Пусть контур L, кроме того, пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках.

Пусть уравнение АСВ есть y = y₁(x) при a ≤ x ≤ b , и уравнение АКВ есть y = y2(x) при a ≤ x ≤ b. 

Преобразуем двойной интеграл:

здесь символ   означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру L.

Аналогично получается

Вычитая из формулы (3.9) формулу (3.8), получаем формулу Грина

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Определения Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции   не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция  , такая, что В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции   вдоль кривой C от точки A до точки Bвыражается формулой (Здесь можно увидеть аналогию с формулой Ньютона-Лейбница для определенных интегралов.)  Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение Векторное поле, обладающее свойством  , называется потенциальным, а функция  называется потенциалом.  Признак потенциальности поля Криволинейный интеграл II рода от функции   не зависит от пути интегрирования, если Предполагается, что каждый компонент функции   имеет непрерывные частные производные по переменным x, y и z.  Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости Oxy, то в случае потенциального поля будет справедливо соотношение В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования D односвязна.