24. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия с линейными операторами. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.

Оператором линейного пространства называется некоторое правило, по которому каждому элементу Х этого пространства ставится в соответствие элемент Y этого же пространства. y=A(x)

Оператор называется линейным, если он обладает следующими свойствами (x1, x2 – векторы):

1.

2.

Матрица линейного оператора – матрица коэффициентов разложения образа вектора по базису (А(х) – образ вектора х). Пусть в линейном пространстве имеется вектор х, B {е_1, е₂}

1. х = х₁е₁ + х₂е₂

2. y = y₁е₁ + y₂е₂

Пусть y = A(x), А – линейный оператор

3. y = A (х₁е₁ + х₂е₂) = A(х₁е₁) + A(х₂е₂) = х₁Ае₁ + х₂Ае₂

Очевидно, что Ае₁ и Ае₂ – новые векторы пространства, следовательно, их можно разложить по базису В

Ае₁ = а₁₁е₁ + а₂₁е₂

Ае₂ = а₁₂е₁ + а₂₂е₂

y = x1(а₁₁е₁ + а₂₁е₂) + x2 (а₁₂е₁ + а₂₂е₂) = (x₁a₁₁ + x₂a₁₂)e₁ + (x₁a₂₁ + x₂a₂₂)e₂ =>

= A

A = - матрица линейного оператора

Таким образом, если в линейном пространстве задан базис, то любому линейному оператору ставится в соответствие его матрица и обратно – любой квадратной матрице можно поставить в соответствие линейный оператор.

Действия с линейными операторами:

1)Сложение линейных операторов. Сумма линейных операторов А и В – линейный оператор С, определяемый равенством Сх = Ах+Вх. Если операторы А и В имеют в некотором базисе матрицы А и В, то матрицей оператора С = А+В будет матрица С = А+В

2)Умножение линейного оператора на число. Произведением оператора А на число α называется линейный оператор αА, определяемый как (αА)х = α(Ах). Матрица αА получается путем умножения каждого элемента матрицы А оператора А на α.

3)Умножение линейных операторов. Перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении Сх = А(Вх) – сначала производится преобразование В, а затем полученный вектор Вх подвергается преобразованию А.

Оператор А имеет обратный (и в этом случае называется невырожденным), когда его матрица невырожденная

Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах (базисы В1 и В2)

y - коорд. вектора в базисе В1

y’ - коорд. вектора в базисе В2

х – в В1

х’ – в В2

y=АХ (1) А-матрица А в В1

y’ = A’X’ A’ – матрица А в В2

Т – матрица перехода из В1 в В2, тогда x=T*x’ y = T*y’

T*y’ = ATx’ |*T^-1

T^-1Ty’ = T^-1 A T X’. T^-1T = Е

Еy’ = T^-1ATx’

y’ = T^-1ATx’

y’ = A’x’

A’ = T^-1AT

25. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.

Пусть А – линейный оператор, вектор S, отличный от нулевого называется собственным вектором линейного оператора, если он удовлетворяет уравнению А(S) = λS, где λ – собственное число линейного оператора

Если А имеет матрицу А, то в матричном виде уравнение А(S) = λS переписывается в виде, где А – не линейный оператор, а его матрица (А)

S (A - λ) = 0

λ -> λE

S(A - λE) = 0 => или S = 0 (по определению S не равен нулю) или |A-λE| = 0

|A-λE| = 0 – характеристическое уравнение для нахождения собственных чисел матрицы А

Сумма собственных чисел равна следу матрицы (сумме диагональных элементов).

Собственные вектора находятся путем подстановки в характеристическое уравнение собственных чисел матрицы.

Теорема о характеристическом многочлене: Характеристический многочлен линейного оператор не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Следовательно, при переходе к новому базису характеристическое уравнение и собственные числа линейного оператора не меняются