20. Линейное векторное пространство. Примеры. Линейная независимость векторов.

Линейным пространством называется множество объектов любой природы, для которых определены 2 операции: сложения и умножения на число, причем результаты этих операций также принадлежат к данному пространству. Если операция умножения на число определена для вещественных чисел, то линейное пространство (L) называется вещественным линейным пространством, если для комплексных, то L – комплексное линейное пространство

Вектора линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю, и линейно зависимы тогда, когда линейная комбинация равна нулю, и при этом существует хотя бы 1 отличный от нуля коэффициент.

21. Базис линейного векторного пространства и координаты вектора. Размерность пространства.

Базис линейного пространства – любой набор линейно независимых векторов данного пространства, при условии, что количество векторов совпадает с размерностью пространства

В линейном пространстве существует бесконечное количество различных базисов, любой вектор Л. П. можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Это представление называется разложением вектора по базису, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе

Размерность Л. П. – это максимальное количество линейно независимых векторов, которые в этом пространстве могут быть

22. Переход к новому базису.

Пусть в пространстве Rⁿ имеется два базиса:  и  .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

(5.1)

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица   называется матрицей перехода от базиса   к базису  .

Определитель матрицы   не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы  , были бы линейно зависимы.

Обратно, если  , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы  , получающиеся из базисных векторов   с помощью матрицы  , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть   в старом базисе и   - в новом. Подставляя в последнее равенство вместо   их выражение из (5.1), получим, что

Таким образом, старые координаты вектора   получатся из новых его координат с помощью той же матрицы  , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.

23. Евклидово пространство. Ортонормированный базис.

Евклидово пространство – это линейное пространство, в котором каждой паре векторов x, y ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих векторов. Скалярное произведение векторов удовлетворяет следующим аксиомам: (x, y, z – вектора, a - константа)

x, y --> (x, y):

(x, y) = (y, x)

(x, y+z) = (x, y) + (x, z)

(ax, ay) = a(x, y)

(x, x) >= 0

Длиной вектора в Еⁿ (евклидовом пространстве) называется число, равное |x| = √(x, x)

Базис, состоящий из попарно ортогональных векторов – ортогональный

Пространство называется нормированным, если в нем у каждого элемента существует норма

||x|| - норма x, обладает следующими свойствами:

||x|| > 0

||ax|| = |a| ||x||

||x+y|| = ||x|| + ||y||

В евклидовом пространстве в качестве нормы вектора рассматривают его длину

Евклидово пространство является нормированным.

Пусть в евклидовом пространстве имеется ортогональный базис B {e1, e2, …, en}. Если каждый вектор этого базиса разделить на его длину, то можно получить новый базис B’ (e⁰₁, …, e⁰_n), вектора которого e⁰_i (все нули, на i-том месте 1)

Ортонормированный базис – базис, вектора которого попарно ортогональны и длина которых равна единице