Вопросы к экзамену по высшей математике I семестр I курс

1. Матрицы. Основные понятия. Виды квадратных матриц. Транспонирование. Линейные операции над матрицами.

Матрица – математический объект, имеющий вид таблицы, обозначающийся заглавными буквами, а элементы имеют двойную индексацию. Элементами могут быть буква, числа, выражения, другие матрицы. Разрядность матрицы – число строк на число столбцов (m x n). m=n => квадратная матрица порядка m. Нулевая матрица – все элементы нули, Главная диагональ матрицы – элементы, у которых совпадают номера строки и столбца. Вектор – матрица, содержащая только один ряд. Эквивалентные матрицы – одна матрица получается из другой путем элементарных преобразований. Ортогональная матрица – матрица, у которой обратная матрица совпадает с транспонированной

Треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы над или под главной диагональю равны нулю

Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой нули всё, кроме главной диагонали

Единичная матрица – диагональная матрицы, в которой в гл. диагонали единицы

Транспонирование – замена строк на соответствующие столбцы. Выполнима всегда.

Умножение на число – каждый элемент матрицы умножается на это число. Выполнима всегда. Свойства: (a+b) A = aA +bA;

a(bA) = (ab)A = b (aA) (a, b - const)

Сложение матриц – складываются соответствующие элементы матриц. Выполнима только если матрицы имеют одинаковую разрядность. Свойства:

A + B = B + A;

(A + B) + C = A + (B + C)

A+0 = A

a(A+B) = aA + aB, a – const

Вычитание матриц А – В = А + (-В). Выполнима, если разрядность матриц совпадает

2. Матрицы. Элементарные преобразования матриц. Произведение матриц.

Элементарные преобразования матриц: перестановка рядов, умножение ряда на число, прибавление к ряду параллельного ряда, умноженного на ненулевое число, вычеркивание нулевого ряда

Умножение матриц происходит по правилу «строка на столбец» Складываются результаты умножения соответственных элементов i-ой строки первой матрицы и j-ого столбца второй матрицы. Выполнима, если совпадают число столбцов первой матрицы и число строк второй. Свойства:

А*В != В*А в общем случае ( равно, только если А и В – коммутирующие (перестановочные))

А(ВС) = (АВ)С

А(В+С) = АВ + АС

АЕ = А

3. Определители. Основные свойства определителей.

Определитель – числовая характеристика квадратной матрицы. Порядок определителя совпадает с порядком матрицы

Свойства определителей:

1. Не меняется при транспонировании матриц

2. Общий множитель ряда можно вынести за знак определителя

3. При перестановке рядов определитель меняет знак

4. Определитель равен нулю, если: 1) в нем есть хотя бы 1 ряд, состоящий только из нулей; 2) в нем есть хотя бы 2 одинаковых ряда; 3) в нем есть хотя бы 2 пропорциональных ряда

5. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц

6. Определитель не изменится, если к ряду прибавить параллельный ряд, умноженный на число.

4. Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа (разложение определителя по ряду).

Минор элемента матрицы – определитель, полученный путем вычеркивания из определителя матрицы строки и столбца, содержащих элемент, минор которого является искомым

Алгебраическое дополнение элемента – это произведение минора этого элемента и (-1) в степени суммы номеров строки и столбца, содержащих этот элемент.

Теорема Лапласа: Определитель равен сумме попарных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения. Сумма попарных произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения элементов других рядов равна нулю