10. Приложение оиф в механике и физике

Работа переменной силы

Пусть сила a (P),действует вдоль кривой (L), меняясь при этом в каждой точке приложения как по величине так и по направлению т.е.

a (P)= a(x,y,z)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k

Для вычисления работы производим все те действия, что и при определении интеграла по ориентированной фигуре от векторной функции. В результате получим

А= А_n= А_i= (a (P_i),⁰(P_i)) Δl_i= (a ,⁰) dl

Таким образом с механической точки зрения криволинейный интеграл второго рода есть работа переменной силы вдоль некоторой линии перемещения.

Линия (L) называется ориентированной, если на ней выбрано направление пе-ремещения. Для гладкой линии (L) в качестве ориентирующего вектора может быть выбран единичный вектор касательной ⁰ (P), направленный в каждой точке кривой по касательной в сторону перемещения.

При изменении направления движения по линии (L) ориентирующий вектор изменит свое направление на противоположное.

11. Интеграл от векторной функции по ориентированной фигуре

Пусть дана ограниченная, содержащая все граничные точки фигура (Ф), орто-нормированный базис i,j, k и точка P(x,y,z)∈(Φ). Вектор

a(P)= a(x,y,z)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k определенный на (Ф), называется векторной функцией трех переменных с областью определения(Ф) . Функции X(x,y,z)+Y(x,y,z)+Z(x,y,z) называется координатами в выбранном базисе

Фигура (Ф) называется ориентированной, если в каждой ее точке задан некоторый вектор b (P), определенным образом характеризующий (Ф).

Пусть дана ориентированная фигура (Ф) и векторная функция a (P), P∈ (Φ). Выполним следующие действия.

1. Выберем направление ориентирующего вектора b (P)фигуры (тем самым выбирается направление движения по кривой в случае (Ф)=(L) или сторона поверхности в случае (Ф)=(Q)).

2. Разобьем фигуру (Ф), мера которой μ на элементарные фигуры (ΔΦ_i), меры которых Δμ_i, . i=

3. На каждой из фигур (ΔΦ_i)выберем произвольную точку P_i.

4. В выбранной точке P_i вычислим векторы a (P_i)и b(P_i) Δμ_i . i=

5. Вычисляем скалярные произведения (a (P_i),b(P_i)) Δμ_i. Δμ_i . i=

6. Составляем сумму , (a (P_i),b(P_i)) Δμ_i=S_n ,

которую будем называть n-й ин-тегральной суммой для векторной функции a (P_i) по ориентированной с помощью вектора b(P_i) фигуре (Ф). ()()()rraPbPSiiiinn,Δμ=Σ=1

7. Найдем предел суммы S_n, при условии, что максимальный из диаметров элементарных фигур (ΔΦ_i)стремится к нулю, т.е.

S_n= (a (P_i),b(P_i)) Δμ_i

Определение Предел суммы , при условии, что каждая из элементарных фигур стягивается в точку(λ→0) , если он существует, конечен не зависит от спо-соба разбиения фигуры (Ф) на элементарные фигуры и от выбора точек в каждой из них, называется интегралом по ориентированной фигуре (Ф) от векторной функции а(Р) и обозначается

(a,b) d μ= (a (P_i),b(P_i)) Δμ_i

Справедлива

Теорема (о существовании интеграла по фигуре от векторной функции). Если функции X(x,y,z)+Y(x,y,z)+Z(x,y,z) в выражении(1) непрерывны на ограниченной, гладкой содержащей граничные точки, ориентированной фигуре (Ф), то интеграл по фигуре существует.