40. Определение знакочередующегося ряда. Теорема Лейбница.
Знакочередующимся называется ряд у которого любые 2 соседних члена имеют разные знаки.
U1-U2+U3-U4+…+(-1)nUn (1) где Un>0
Для исследования на сходимость используют признак Лейбница.
Теорема Лейбница. Если в ряде (1) модули членов убывают монотонно, то есть U1>U2 >U3>… и limUn=0 то ряд сходится и его сумма принадлежит полуинтервалу от 0 до U1 , а остаток этого ряда по модулю не превосходит модуля его первого члена.
41.Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда (Теорема Коши).
Достаточ условие сход-ти:
Пусть дан знакоперем ряд а1 +а2 + а3 + … а n + … Если сходится ряд а1 +а2 + а3 + … а n (кажд член писать по модулю), составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.
42.Абсолютная и условная сходимость рядов. Определение. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Знакоперем ряд наз абсол сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакоперем ряд наз услов сход-ся, если сам ряд сходится, а ряд составл из модулей его членов, расходится.
Св-ва: 1.если ряд абсол сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, так же сход и имеет ту же сумму, что и исходный ряд(теор Дирихле). 2. Абсол сход-ся ряды с суммами S1 и S2 , можно почленно складывать(вычитать).В рез-те получается абсол сход-ся ряд, сумма кот равна S1 + S2( или S1 – S2). 3. Под произведением 2 рядов u1 +u2 +… и v1 + v2 +… понимают ряд вида: ( u 1v 1) + (v 1v 2 + u 2v 1) + (u 1v 3 + u 2v 2 + u 3v1 ) +… (u 1v n + u 2 v n-1 + … + u n v 1 ) + … Произвед 2 абс сход-ся рядов с суммами S1 и S2 есть абс сход-ся ряд , сумма кот равна S 1 X S2.
43. Остаток ряда и его оценка
Числовой ряд полученный из ряда u1+u2+…+un+un+1+… отбрасыванием его n-первых членов называется остатком или n-ным остатком этого ряда и обозначается.
rn=
un+un+1+
un+2+
un+3+…=
n
Если числовой ряд сходится, то разность
rn=S-Sn называется n-м остатком ряда.
Таким образом, rn представляет собой сходящийся числовой ряд:
rn= un+1+un+2+… .
Заметим, что 
rn=
( S-Sn)=S-S=0.
Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |rn|=|S-Sn|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до ε>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |rn|<ε. Однако в общем случае находить точно Rn не удаётся.
Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)
Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n-й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)-го члена ряда.
Доказательство. Пусть ряд u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1.un+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n-й остаток ряда Rn=±(un+1-un+2+un+3…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|≤|un+1|. Теорема доказана.
44. Функциональные ряды, область сходимости
Ряд членами которого являются функции, называется функциональным рядом.
Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
В области сходимости его сумма является функцией от x, поэтому сумму функционального ряда обозначают S(x) . Функциональные ряды, область равномерной сходимости
Ряд
S(х)
=
k(x)
(1)
называется равномерно сходящимся в области D, если неравенство
|S(х) - k(x)|<ε выполняется для любого сколь угодно малого числа ε > 0 для всех х из области D, начиная c некоторого номера n > N (не зависящего от х).
Степенные ряды
Функциональный ряд вида:
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…=
n(x-x0)
называется степенным
рядом. Постоянные
числа a0, a1, a2,
..., an...
называются коэффициентами
ряда. Постоянное
число x0
называется центром
ряда.
Областью сходимости степенного ряда является интервал (x0-R; x0+R),
(|x-x0|<R), который называется интервалом сходимости степенного ряда, число R называется радиусом сходимости. На интервале сходимости степенной ряд сходится абсолютно, при (|x-x0|>R) степенной ряд расходится.
При x = R, x = -R вопрос о сходимости степенного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. Внутри интервала сходимости степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать.
Радиус сходимости определяется следующими пределами:
R
=
,
R=