29. Свойства вихревого поля.

Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется вихревым; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.

Формула Стокса

(M)*d = )dS

Левая и правая части формулы представляют, соответственно, циркуляцию векторного поля и поток его вихря. Значит, формула Стокса утверждает: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку его вихря (M) через поверхность S, натянутую на этот контур.

Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению:

C= Fdl = F_xdx + F_ydy + F_zdz

30. Дифференциальные операции первого порядка. Специальные виды векторных полей. Оператор Гамильтона.

Основными дифференциальными операциями над скалярным полем U векторным полем являются gradU, div , rot .Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).Эти операции удобно записывать с помощью, так называемого оператора Гамильтона.

𝛁=

Этот символический вектор называют также оператором 𝛁(читается «набла»)он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора 𝛁 на скаляр Uили вектор производится по обычнымправилам векторной алгебры, а «умножение» символов , , навеличины U,Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

1. 𝛁U=( )*U= = grad U.

2. 𝛁 =( )*(P* +Q* +R* )= =div .

3. 𝛁× = =rot .

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилам и векторной алгебры правилами дифференцирования. В частности, производная по направлению может быть записана в виде

, где =(cosa; cosβ; cosγ)

Специальные виды векторных полей

Векторное поле = (M ) , M ∈Q , называется потенциальным (без вихревым), если существует такая непрерывно дифференцируемая скалярная функция U(M) такая, что = gradU(M ), ∀M ∈Q .

Функция U(M ) называется в этом случае потенциалом векторного поля = (M)

Векторное поле = (M ) , M ∈Q , называется соленоидальным (трубчатым), если div (M) = 0 ∀M ∈Q .

Векторное поле = (M ), M ∈Q , называется гармоническим (лапласовым), если оно является как потенциальным, так и соленоидальным, т.е.

rot ( ) M = 0, div (M ) = 0

31. Векторные дифференциальные операции второго порядка.Оператор Лапласа.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: div grad U, rot grad U, grad div ā, div rot ā, rot rot ā;.

(Понятно, что операция div div ā, например, не имеет смысла:

div ā; - скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о div div ā;, бес­

смысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций вто­

рого порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что

оператор действует только на множитель, расположенный непосред­

ственно за оператором.

1. 

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается ∆U. Таким образом,

(1)

Дифференциальное уравнение Лапласа ∆U = 0 играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (1) можно прийти, введя в расмотрение скалярный оператор дельта:

(которые тоже называют оператором Лапласа).

2. , так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

3. .

4. , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря - соленоидальное.

5. , так как двойное векторное произведение обладает свойством

Здесь - векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору