Иллюстрация декартового произведения числовых множеств на координатной плоскости.
Если
мн-во А и В является числовыми, то
декартово произведение можно изобразить
на координатной плоскости. Если мн-во
В содержит все действительные числа,
включая и сами эти числа, то декартово
произведение А
В
будет состоять из бесконечного множества
пар, первая компоненты которых либо 1,
либо 2. либо 3, а вторая – любое действительное
число из промежутка от 3 до пяти. . Такое
мн-во пар действительных чисел изобразится
на координатной плоскости отрезками.
В этом случае бесконечны оба множества
А и В. Декартово произведение изобразится
в виде квадрата. Этот случай отличается
от предыдущего тем, что множество А
состоит из всех действительных чисел.
Декартово произведение представляет
собой горизонтальную полосу.
Свойства декартова произведения: дистрибутивность декартова произведения относительно объединения, пересечения и разности множеств. Иллюстрация, доказательство.
1) (AUB)*C=(A*C)U(B*C)
2) (A∩B)*C=(A*C)∩(B*C)
3) (A\B)*C=(A*C)\(B*C)
докажем:
(х, у)
(А U B) * C)
x
A U B
и y
C
x
A или х
В и у
С
х
А и у
С или х
В и у
С
(х, у)
А*С или (х, у)
В*С
(х, у)
(А*С)U(B*C)
и наоборот
(A\B)*C=(A*C)\(B*C)
(х,
у)
(A\B)*C
х
A\B,
у
С
x
A и х
В, у
С
(х,у)
А*С и (х, у)
В*С
(х, у)
(А*С) \
(В*С), т.е. левая часть
правой части.
(х, у) правой части, (х, у) (A*C)\(B*C) (х, у) А*С и (х, у) В*С х А, у С и х В х A\B, у С (х, у) (A\B)*C, т.е. левой части. Правая часть левой части. Отсюда левая и правая части равны.
10. Правила суммы и произведения в комбинаторике. Примеры.
Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения.
Правило суммы. Если выбирать один элемент из двух или нескольких множеств. Правило суммы связано с подсчетом кол-ва элементов в объединении 2х или нескольких множеств n(AUB)=n(A)+n(B). N(x) – число элементов в множестве Х. Объединение А с В равно пустому множеству. Число элементов в объединении 2х множеств равно сумме количеств элементов в этих множествах, при условии. Что мн-ва не пересекаются. Если мн-ва пересекаются, то формула будет такой: n(AUB) =n(A)+n(B) – n(A В). (Если элемент из мн-ва А можно выбрать m способами, а из мн-ва В к-способами, причем множества А и В не пересекаются, то один элемент из объединения этих множеств можно выбрать (m+k) способами. Пример: в одной группе 25, во второй 26. сколькими способами можно назначить одного дежурного? 25+26=51 способ.
Правило произведения. Если 2 элемента из 2х мн-в (3 из 3х и т.д.). Оно связано с кол-вом элементов в декартовом произведении мн-в. n(А*В)=n(A)*n(B). Число элементов в ДП 2х множеств равно произв-ю воличественных элементов этих множеств. (Если элемент Х из мн-ва можно А выбрать m способами, а элемент У из мн-ва В можно выбрать к-способами, то пару элементов Х,У можно выбрать m*k способами. Пример: в одной группе 26 человек, в другой 25. сколькими способами можно выбрать старосту? 26*25 способами.