1 Исследование эффектов квантования в цифровых цепях

Цель работы: исследовать влияние квантования сигналов и коэффициентов в цифровых цепях, использующих арифметику с фиксированной запятой.

1.1 Краткая теоретическая справка

В цифровых цепях отсчеты входных х(n) и выходных у(n) сигналов, коэффициенты передаточных функций и результаты выполнения арифметических операций представляются b-разрядными двоичными числами в соответствии с разрядностью регистров. Такое приближенное представление чисел называют квантованием.

Под m = b+1 понимается совокупность знакового разряда и b разрядов модуля числа (число значащих разрядов).

Шагом квантования Q называют модуль разности между соседними уровнями квантования q _i+1 и q_i

.

Для беззнаковых чисел, представляемых в регистрах, шаг квантования определяется как , что соответствует значению младшего числового разряда при Q = const.

В цифровой обработке рассматриваются числа, по модулю не превосходящие единицу

.

При квантовании используются два способа приближения чисел: округление и усечение. В случае усечения ошибка усечения е_у(п) не превосходит шага квантования

и .

В случае округления ошибка округления не превосходит половины шага квантования и меньше ошибки усечения

и .

В связи с этим в аналого-цифровых преобразователях и в цифровых процессорах обработки сигналов обычно применяется округление.

Источниками ошибок квантования являются:

а) аналого-цифровое преобразование аналогового сигнала

б) арифметические операции с цифровым сигналом

в) перезапись из аккумулятора в память данных;

г) квантование коэффициентов передаточных функций.

Для линейных моделей процессов аналого-цифрового преобразования и умножения математическое ожидание ошибки квантования , а дисперсия ошибок квантования

В логарифмическом масштабе мощность шума ошибок квантования приблизительно равна

Следовательно, увеличение (уменьшение) разрядности АЦП или регистра умножителя на единицу уменьшает (увеличивает) дисперсию шума на выходе АЦП или умножителя на 6 дБ.

Определим влияние квантования входного сигнала на выходной шум цифровой цепи, полагая, что коэффициенты и арифметические операции реализуются точно. Выходной шум, как реакция дискретной цепи, имеющей импульсную характеристику h(n), на входной шум , определяется по формуле

.

Максимальные ошибки квантования входного (при округлении) и выходного сигнала определяются по формулам

.

Дисперсия составляющей выходного шума из-за АЦП, имеет вид

Шум на выходе цифровой цепи имеет еще одну составляющую, обусловленную квантованием результатов умножения (собственный шум). Например, при прямой форме реализации звена первого порядка максимальное значение ошибки составляющей выходного собственного шума вычисляется по формуле

,

а дисперсия этого шума формулой

где L - количество умножителей.

Максимальная ошибка и дисперсия шума квантования на выходе цифровой цепи первого порядка определяются как суммы соответствующих вышеуказанных составляющих

;

где - импульсная характеристика цепи первого порядка.

Максимальная ошибка квантования на выходе цифровой цепи второго порядка определяется как

где - импульсная характеристика от выхода i – го умножителя до выхода цепи.

Общий шум на выходе звена второго порядка для всех i = 1,2,…,L определяется следующей формулой

где - импульсная характеристика цепи второго порядка.

Для некоторых входных сигналов ошибка квантования на выходе цепи зависит от самого сигнала. В результате могут появляться незатухающие колебания, которые получили название предельных циклов низкого и высокого уровней.

Предельным циклом низкого уровня называют незатухающие колебания, которые возникают в рекурсивной цифровой цепи при нулевом входном сигнале и ненулевых начальных условиях вследствие нелинейной природы процесса квантования результатов умножения.

Причиной другого типа колебаний является переполнение регистров сумматоров. Такие колебания являются периодическими. Для предупреждения возможного переполнения прибегают к масштабированию сигналов - такому ограничению их значений, чтобы на выходе любого i-го узла суммирования результат не превышал единицы, то есть .

Это обеспечивается введением масштабирующих множителей (коэффициентов) на входах системы или на выходах умножителей

гдe f_i (n) - импульсная характеристика от входа цепи (от источника сигнала) до выхода i-го сумматора при i = 1,2,…

Ошибки, обусловленные квантованием коэффициентов передаточной функции, приводят к смещению положения полюсов и нулей, т.е. к изменению частотных характеристик, а значит к изменению характерных для цифровой цепи свойств и даже к потере ее устойчивости.