2.Флуктуации аддитивных величин.

Величина называется средней квадратичной флуктуацией величины . Эта величина как раз характеризует в среднем ширину интервала отклонения величины от ее среднего значения.

Теперь получим одно полезное выражение для средней квадратичной флуктуации. Для этого в определении этой величины давайте раскроем квадрат разности. В результате получим

. (13)

Далее воспользуемся тем, что среднее суммы равно сумме средних. Таким образом, имеем

. (14)

Теперь воспользуемся тем, что константу можно выносить за знак усреднения. Вынося в третьем слагаемом константу , получаем

. (15)

Сокращая одинаковые слагаемые, окончательно имеем

. (16)

Таким образом, среднеквадратичная флуктуация определяется разностью среднего квадрата и квадрата среднего.

Отношение называют относительной флуктуацией величины . Чем она меньше, тем меньшую часть времени система будет проводить в микросостояниях, в которых отклонение величины от своего среднего значения будет составлять значительную часть последнего.

Покажем теперь, что относительная флуктуация быстро уменьшается с увеличением размеров тела (т.е. с увеличением в нем числа частиц). Для этого предварительно заметим, что большинство величин, представляющих физический интерес являются аддитивными . Это обстоятельство есть следствие того факта, что энергия взаимодействия подсистемы со своим окружением много меньше ее внутренней энергии, и состоит в том, что значение такой величины для всего тела есть сумма значений этой величины для отдельных его макроскопических частей.

Пусть есть такая аддитивная величина. Разобьем тело на большое число примерно одинаковых макроскопических частей. Тогда в силу аддитивности среднее значение нашей величины для всей системы равно сумме средних значений этой величины для частей, на которые мы разбили нашу систему

. (17)

Если мы теперь будем увеличивать размер тела, сохранив размер частей, т.е. будем “прикреплять” к нашему телу дополнительные части, то у нас будет расти . Из (17) ясно, что при увеличении размеров тела среднее системы будет расти примерно пропорционально .

Далее определим среднюю квадратичную флуктуацию. Имеем

. (18)

Отсюда в силу статистической независимости частей

. (19)

Поскольку для любой подсистемы, то вторая сумма равна нулю, и мы имеем

. (20)

Из последней формулы видно, что с ростом среднее квадрата отклонения аддитивной величины, характеризующей все тело, увеличивается приблизительно пропорционально , а средне квадратичная флуктуация увеличивается приблизительно пропорционально . Следовательно, среднеквадратичная флуктуация с ростом будет уменьшаться обратно пропорционально , т.е.

. (44)

Когда мы увеличиваем размер тела, сохраняя размер частей, т.е. когда мы добавляем к телу дополнительные части, то число N этих частей, очевидно, будет увеличиваться приблизительно пропорционально числу частиц в теле. Таким образом, можно утверждать, что относительная флуктуация всякой аддитивной величины уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из числа частиц в системе. Поскольку в макроскопических телах число частиц колоссально, то относительная флуктуация любой аддитивной величины (а именно такие величины в большинстве случаев представляют физический интерес) будет чрезвычайно мала. Поэтому саму величину можно с большой точностью считать постоянной во времени и равной своему среднему значению.

3. Общие свойства функции распределения. Зависимость функции распределения от макроскопического состояния окружающей среды. Внутренние и внешние термодинамические параметры. Теплообмен.

Функция распределения – это функция , играющая роль плотности вероятности нахождения подсистемы в данной точке ее фазового пространства, зависит от всех координат и импульсов подсистемы.

Общие свойства функции распределения

Теорема. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1) она не убывает: если , то ;

(F2)  существуют пределы и ;

(F3)  она в любой точке непрерывна слева:

Доказательство

Доказательство свойства (F1). Для любых чисел событие влечёт событие , т.е. . Но вероятность — монотонная функция событий, поэтому

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры.

Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции . Остается лишь доказать равенства

, и .

Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности , так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что при . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий :

Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех , для которых меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры, при .

Точно так же докажем остальные свойства.

Покажем, что при , т.е. . Обозначим через событие . События вложены:

а пересечение этих событий снова пусто — оно означает, что больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, при .

Доказательство свойства (F3). Достаточно доказать, что при . Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности:

Зависимость функции распределения от макроскопического состояния

окружающей среды

Функция распределения равновесной системы параметрически зависит от макроскопического состояния окружающей среды и не зависит от того, с помощью какого микросостояния это макросостояние окружающей среды реализуется.

В данном состоянии термодинамического равновесия, т.е. при данных конкретных значениях внешних термодинамических параметров и температуры, явный вид функции распределения нашей системы вполне определенный. Однако если теперь поместить наше тело в другое состояние термодинамического равновесия, которое определяется другими значениями внешних термодинамических параметров или температуры, то явных вид функции распределения нашей системы изменится.

Задать микроскопическое состояние системы - значит указать все ее координаты и импульсы системы.

Задать макроскопическое состояние системы - значит указать ее макроскопические параметры, такие как давление, температура , объем и т.д.

Параметры называются внешними, если они определяются положением, не входящих в нашу систему внешних тел. Объем системы, величина поверхности определяются расположением внешних тел. Напряжение силового поля зависит от положения источников поля – зарядов и токов, не входящих в систему. Параметры называются внутренними, если они определяются совокупным движением и распределением в пространстве тел и частиц, входящих в нашу систему. Плотность, давление, энергия – внутренние параметры. Естественно, что величины внутренних параметров зависят от внешних параметров.

Внешние параметры (объем газа в сосуде) есть функции координат идеализированных источников этих внешних силовых полей. Подчеркну, что по самому своему смыслу внешние параметры не зависят от координат и импульсов самой изучаемой системы.

Под внутренними параметрами (давление газа на стенки сосуда) системы понимают средние значения любых функций координат и импульсов самой этой системы.

Температура не относится ни к внешним, ни к внутренним параметрам. Она у нас будет стоять особняком.

В термодинамическом равновесии все внутренние параметры системы являются функцией внешних параметров и температуры. Другими словами, макроскопическое состояние системы, находящейся в равновесии со своим окружением, задается внешними параметрами и температурой.

Договоримся о следующих обозначениях, которые будем везде в дальнейшем использовать Совокупность координат и импульсов изучаемой нами системы мы будем обозначать и . Совокупность координат и импульсов окружающей среды будем обозначать и . Совокупность всех внешних параметров, задающих состояние равновесия нашей системы, будем обозначать буквой . Один- i-ый - внешний параметр будем обозначать (буквой с индексом i).

При рассмотрении системы, находящейся в равновесии с окружающей средой, мы очень-очень сложную точную функцию Гамильтона замкнутой системы, состоящей из изучаемого тела и окружающей среды, заменяем на приближенную, которую представляем в виде суммы эффективной функции Гамильтона нашей системы и эффективной функции Гамильтона окружающей среды. Т.е. мы пишем, что

.

Теплообмен между нашей системой и окружающей средой мы учитываем следующим образом. Мы фиксируем функцию Гамильтона всей замкнутой системы, но при этом мы не фиксируем по отдельности гамильтониан нашей системы и гамильтониан окружающей среды . Этим мы оставляем возможность теплообмена между нашей системой и окружающей средой. В результате мы получаем, что различные значения энергии нашей системы могут реализовываться с различной вероятностью, которая определяется температурой.

Теплообмен — это процесс изменения внутренней энергии без совершения работы над телом или самим телом. Теплообмен всегда происходит в определенном направлении: от тел с более высокой температурой к телам с более низкой. Когда температуры тел выравниваются, теплообмен прекращается. Теплообмен может осуществляться тремя способами:

1. теплопроводностью

2. конвекцией

3. излучением

4. Микроканоническое распределения Гиббса в классической статистической теории

Рассмотрим ситуацию, когда изучаемая система является адиабатически изолированной от окружающей среды или, иначе, замкнутой. система не обменивается с окружающей средой ни частицами, ни энергией. При таком задании нашей системы мы фиксируем число частиц в ней , ее объем и остальные внешние параметры , а также ее энергию. Причем речь идет не о внутренней энергии, а именно об энергии в обычном механическом понимании.

Состояние равновесия такой системы задается внешними параметрами и ее энергией. Для полноты информации – для того, чтобы написать функцию Гамильтона нашей системы - нам еще, конечно же, нужно знать число частиц N в нашей системе.

Распределение вероятности различных микросостояний замкнутой системы называется микроканоническим.

Вид функции распределения для адиабатически изолированной системы непосредственно вытекает из постулата, который носит название принципа равной вероятности. Этот принцип состоит в следующем. Состояние равновесия нашей замкнутой системы задается ее энергией Е. Функция Гамильтона системы есть ни что иное, как ее полная энергия. Следовательно, микросостояния нашей системы, возможные в заданном состоянии равновесия, определяются условием

. (1)

Никакие другие микросостояния нашей системы в этом ее состоянии равновесия не возможны. Утверждение постулата равной вероятности состоит в том, что с равной вероятностью реализуется любое микросостояние, возможное в данном состоянии равновесия изолированной системы.

Непосредственно из постулата равной вероятности следует, что функция распределения нашей замкнутой системы имеет вид

. (2)

Действительно, пусть энергия нашей системе является не строго постоянной, а может меняться в очень малом интервале от до . Тогда возможные микросостояния нашей системы определяются условием

. (3)

Пусть ширина интервала энергии хоть и конечна, но настолько мала, что для нашей системы с большой точностью справедлив принцип равной вероятности. Т.е. ширина интервала настолько мала, что каждое микросостояние, энергия которого попадает в данный интервал, реализуется с равной вероятностью. Другими словами, функция распределения нашей системы имеет вид

, (4)

где С – константа.

Равновесное значение макроскопического параметра, как мы значем, есть

. (5)

Теперь для того, чтобы перейти от квазизамкнутой системы к истинно замкнутой, мы должны устремить к нулю. В результате мы получим наш внутренний макроскопический параметр

. Согласно определению дельта-функции Дирака этот предел равен

. (6)

Таким образом, функцию распределения адиабатически изолированной системы мы можем написать как произведение нормировочной постоянной на дельта-функцию Дирака, аргумент которой есть разность функции Гамильтона нашей системы и энергии E

.

Значение постоянной определяется условием нормировки

. (7)

Подставляем в условие нормировки явный вид функции распределения и переходим от интегрирования по фазовому пространству к интерированию по энергии в соответствии с той теоремой, которую сформулированной на прошлой лекции. В результате получим

, (8)

где

, (9)

(10)

объем фазового пространства, ограниченный поверхностью постоянной энергии .

Воспользовавшись основным свойством дельта-функции

. (11)

В результате получаем

. (12)

Отсюда постоянная есть

.