Функция распределения.

Переходя к бесконечно малым элементам фазового пространства, мы можем определить вероятность состояний, которые изображаются точками внутри элементарного фазового объема, т.е. вероятность того, что обобщенные координаты и импульсы лежат в заданных интервалах между , и , . Эту вероятность можно представить в виде

. (3)

Функция зависит от всех координат и импульсов подсистемы и играет роль плотности вероятности нахождения подсистемы в данной точке ее фазового пространства. Эта функция называется функцией статистического распределения или, как часто говорят, просто функцией распределения.

Функция распределения, очевидно должна удовлетворять условию нормировки

, (4)

где интеграл берется по всему фазовому пространству подсистемы. Условие нормировки есть просто отражение того простого факта, что вероятность того, что подсистема в любой момент времени обязательно находится в каком-то своем микросостоянии.

Вычисление этой функции распределения как раз и является основной задачей статистической теории. Оказывается, что функцию распределения можно найти, не решая полную механическую задачу.

Зная функцию распределения, мы сразу можем вычислить вероятности различных значений любой физической величины , зависящей от микросостояния данной подсистемы (т.е. от значений ее координат и импульсов ). Соответственно, мы также можем вычислить и среднее значение любой такой величины. Оно получатся путем умножения всех возможных значений данной величины на соответствующие вероятности и интегрирования по всем состояниям. Другими, словами среднее значение величины дается формулой

, (5)

где интегрирование ведется по всему фазовому пространству данной подсистемы.

В силу своего определения вероятности, с помощью формулы (3), усреднение с помощью функции распределения, или как говорят, статистическое усреднение полностью эквивалентно усреднению по времени (1). Однако статистическое усреднение обладает тем преимуществом, что оно освобождает нас от необходимости следить за изменением истинного значения физической величины со временем.

Следует отметить, что статистическая теория не дает такой исчерпывающе полной и однозначной информации о системе, какую дают методы классической механики. Выводы и предсказания статистической теории в отличие от результатов классической механики имеют вероятностный характер. Причем вероятностный характер результатов статистической теории сам по себе отнюдь не лежит в самой природе рассматриваемых ею объектов, он есть лишь следствие того, что эти результаты получаются на основании гораздо меньшего количества данных, чем это нужно было бы для полного механического описания (не требуются начальные значения всех координат и импульсов).

Тем не менее, при практическом применении статистической теории к макроскопическим телам в состоянии термодинамического равновесия ее вероятностный характер обычно совершенно не проявляется. Дело в том, что, как уже обсуждалось, если наблюдать любое макроскопическое тело, находящееся в состоянии термодинамического равновесия, в течение достаточно большого промежутка времени, то окажется, что все характеризующие тело макроскопические величины являются практически постоянными и лишь сравнительно очень редко испытывают сколько-нибудь заметные отклонения. В терминах статистического распределения это означает, что если с помощью функции распределения построить функцию распределения вероятностей различных значений величины , то эта функция будет иметь чрезвычайно резкий максимум при , будучи сколько-либо заметно отличной от нуля лишь в самой непосредственной близости к точке максимума (рис.1).

Рис.1.

Таким образом, давая возможность вычислять средние значения величин, характеризующих макроскопические тела, статистическая теория тем самым позволяет делать предсказания, оправдывающиеся с весьма большой точностью для подавляющей части времени наблюдения. В этом смысле предсказания статистики приобретают практически определенный, а не вероятностный характер.

Далее, обратим внимание на тот факт, что энергия взаимодействия макроскопической системы со своим окружением существенно меньше ее внутренней энергии. В самом деле, во взаимодействии подсистемы с окружающими частями большой системы в основном принимают участие частицы, находящиеся вблизи ее поверхности. Относительное число частиц вблизи поверхности по сравнению с полным числом частиц в подсистеме быстро уменьшается с ростом размеров системы, и при достаточной большой величине подсистемы энергия ее взаимодействия со своим окружением будет существенно меньше внутренней энергии подсистемы. Такое соотношение между энергией взаимодействия подсистем и их внутренней энергией, во-первых, служит обоснованием того, что функция распределения данной подсистемы зависит только от ее координат и импульсов, и не зависит от микросостояния ее окружения. Кроме того, указанное обстоятельство дает возможность считать подсистемы независимыми в статистическом смысле.

Остановимся здесь более подробно. Рассмотрим каких-либо две подсистемы. Первую подсистему обозначим цифрой 1, втору цифрой – 2. Будем обозначим обобщенные координаты и импульсы первой подсистемы и . Обобщенные координаты и импульсы второй подсистемы будем, соответственно, обозначать и . Функция распределения первой подсистемы зависит только от ее координат и импульсов и , и не зависит от микросостояния окружающей ее среды. В частности, она не зависит от координат и импульсов и второй подсистемы. Функция распределения второй подсистемы также зависит только от ее координат и импульсов и и не зависит от микросостояния окружающей ее среды. В частности, она не зависит от и . Функция распределения составной подсистемы “1+2”, т.е. подсистемы, представляющей собой объединение подсистемы 1 и подсистемы 2, зависит только от , , и и не зависит от координат и импульсов остальных частей большой замкнутой системы. Рассмотрим два события. Первое событие состоит в том, что подсистема 1 находится в объеме ее фазового пространства, который окружает точку . Второе событие состоит в том, что подсистема 2 находится в объеме ее фазового пространства, который окружает точку . Так вот, эти два события являются независимыми с точки зрения теории вероятности, т.е. вероятность того, что оба эти события произойдут одновременно, равна произведению вероятности первого события и вероятности второго события. Другими словами, вероятность того, что составная система “1+2” находится в элементе ее фазового пространства , который окружает точку , равна произведению вероятности первой системе находиться в элементарном объеме ее фазового пространства и вероятности второй системе находиться в элементарном объеме ее фазового пространства. Таким образом, мы можем написать

, (6)

Из написанного равенства непосредственно следует, что

, (7)

т.е. функция распределения составной подсистемы “1+2” равна произведению функций распределения подсистемы 1 и подсистемы 2.

Аналогичное соотношение можно написать и для совокупности нескольких подсистем, при условии, конечно, что совокупность всех этих подсистем все еще составляет малую часть замкнутой системы.

Рис.2

Можно, очевидно, утверждать и обратное, если распределение вероятностей сложной системы распадается на произведение множителей, каждый из которых зависит только от микросостояния одной из ее, то это значит, что эти части статистически независимы, причем каждый из множителей пропорционален вероятности состояний соответствующих подсистем.

Теперь рассмотрим какую-либо величину , относящуюся ко всему изучаемому телу или его отдельной макроскопической части. Эта величина будет с течением времени изменяться, колеблясь около своего среднего значения. Введем величину, характеризующую в среднем ширину интервала этого изменения. На первый взгляд, казалось бы, в качестве такой характеристики следует взять среднее значение разности между самой величиной и ее средним значением. Однако среднее этой разности служить такой характеристикой не может, поскольку для макроскопической системы это среднее всегда равно нулю, независимо от того сколь часто наша величина значительно отклоняется от своего среднего значения. Действительно, по определению среднее значение нашей разности есть

. (8)

Подставляем явный вид нашей разности . В результате получаем

Отсюда

. (9)

Оставшийся интеграл равен единице в силу условия нормировки функции распределения. Таким образом, получаем, что среднее нашей разности

(11)

всегда равно нулю, не зависимо от того, как ведет себя наша величина .

В свете сказанного понятно, что в качестве искомой характеристики удобно брать среднее значение квадрата этой разности . По определению это среднее есть

. (12)

Квадрат разности всегда больше, либо равен нулю. Функция распределения подсистемы всегда неотрицательно по самому ее определению. Поэтому подынтегральная функция в данном интеграле больше, либо равна нулю во всей области интегрирования. Следовательно, этот интеграл будет стремиться к нулю только тогда, когда квадрат отклонения нашей величины от среднего сам стремится к нулю. Другими словами, среднее значение квадрата отклонения от среднего будет мало только тогда, когда вероятность значительных отклонений нашей величины от своего среднего будет мала.