18.Распределение Ферми-Дирака.

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией   есть

где

 — среднее число частиц в состоянии  ,

 — энергия состояния  ,

 — кратность вырождения состояния   (число состояний с энергией  ),

 — химический потенциал (который равен энергии Ферми   при абсолютном нуле температуры),

 — постоянная Больцмана,

 — абсолютная температура.

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц   (где   — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длинойволны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии  , вероятность которого

 называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры  ,   есть вероятность того, что состояние с энергией   будет занято фермионом. Обратите внимание, что   является убывающей функцией от  . Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

19.Идеальный ферми-газ. Плотность одночастичных стационарных состояний. Вычисление термодинамических величин с помощью плотности одночастичных стационарных состояний.

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при   равна  . То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа   с   частиц можно получить путем размещения по одной частице в каждом из   квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия   такого газа при   будет отличной от нуля.

Величину   несложно вычислить. Обозначим через   энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при  . При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже   заняты, а все квантовые состояния с энергией выше   — свободны.

Поэтому должно существовать ровно   состояний с энергией ниже или равной  . Этого условия достаточно для нахождения  . Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям   интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на  :

где   — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число  , для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от   до  , величины импульса самого высокого заполненного при   состояния с энергией  , и приравнивая результат к  , получаем с учетом того, что  :

или для электронов с  :

Величину  , наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра   плотность числа электронов   в энергетическом пространстве находим путем умножения квантовых плотностей состояний

на множитель  , который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

где величина   — химический потенциал при  , а   — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям  , то можно определить   как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в   полного числа частиц  . Отсюда видно, что для   величина   есть функция параметров   и  .

Энергию можно найти из соотношения:

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

в котором функция   есть некоторая простая и непрерывная функция от  , например   или  , и

Следует отметить, что величина   имеет порядок от   до   К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

которое выражает химический потенциал   через параметры   и  .

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину —  . Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

Вычисление термодинамических величин с помощью плотности одночастичных стационарных состояний.

При описании идеального ферми-газа можно придерживаться следующего алгоритма.

Сначала находим базис одночастичных стационарных состояний, т.е. стационарных состояний одной отдельно взятой частицы, рассмотренной в тех же самых внешних силовых полях, что и весь газ.

Далее, используя формулу (34), находим плотность одночастичных стационарных состояний.

Затем подставляем плотность одночастичных стационарных состояний в уравнение (42) для химического потенциала. Решив это уравнение, находим химический потенциал.

Далее, зная плотность одночастичных стационарных состояний и химический потенциал, находим свободную энергию с помощью выражения (41).

Наконец, зная свободную энергию, находим нужные макроскопические характеристики нашего идеального ферми-газа.

Рассмотрим теперь газа невзаимодействующих тождественных бозонов.

Микростояния газа тождественных невзаимодествующих бозонов определяются аналогично тому, как это делалось в случае идеального ферми-газа. Точно также в стационарном состоянии всего нашего газа в целом каждая из частиц находится в одном из одночастичных стационарных состояний. Поэтому также как и в случае системы невзаимодействующих тождественных фермионов микросостояние идеального бозе-газа задается совокупностью чисел заполнения всех одночастичных стационарных состояний.

Точно также, как и в случае ферми-газа, энергия микросостояния нащего бозе-газа с данной совокупностью чисел заполнения есть сумма по всем микросостояниям от произведения энергии одночастичного стационарное состояние на число частиц в этом одночастичном стационарном состоянии

, (43)

а среднее число частиц равно сумме чисел заполнения

, (44)

А вот волновые функции микросостояний ферми- и бозе-газа принципиально отличаются. В случае газа невзаимодействующих тождественных фермионов волновая функция любого микросостояния антисимметрична относительно перестановки частиц, т.е. при перестановке двух частиц она меняет знак. Именно эта антисимметрия приводит к фундаментальному ограничению на значения чисел заполнения - принципу запрета Паули. В случае же газа невзаимодействующих тождественных бозонов симметрия волновой функции иная: она является симметричной относительно перестановки частиц, т.е. при перестановке двух частиц волновая функция бозе-газа не меняется. Поэтому в газе невзаимодействующих тождественных бозонов нет фундаментального ограничения на числа заполнения, подобного принципу запрета Паули.

Также как и раньше нам нужно, найти выражение для среднего числа частиц в данном одночастичном стационарном состоянии и свободную энергию нашего бозе-газа.

Для того, чтобы это сделать нужно в точности повторить те выкладки, которые мы сделали для идеального ферми газа, только заменив в них сумму на сумму .

В результате мы получим, что в идеальном бозе-газе химический потенциал не может быть положительным (в противном случае сумма будет расходиться), а среднее число частиц в одночастичном стационарном состоянии дается выражением

. (45)

Для свободной энергии мы получим следующее выражение

. (47)

Эта функция называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна.

20. Плотность одночастичных стационарных состояний свободного идеального электронного газа в отсутствие внешних полей. Химический потенциал, внутренняя энергия и давление при абсолютном нуле температуры.

Установим физический смысл величины . Проинтегрируем ее по конечному интервалу

. (37)

Изменив порядок интегрирования и суммирования, и воспользовавшись основным свойством дельта-функции Дирака, находим

. (38)

Из полученного выражения легко видеть, что есть число одночастичных стационарных состояний с энергией, попадающей в интервал . Следовательно, величина представляет собой число одночастичных стационарных состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. По этой причине функция называется плотностью одночастичных стационарных состояний.

При переходе к записи через плотность одночастичных состояний мы, фактически, сумму по квантовым числам одночастичных состояний заменяем интегралом по энергии, а под знаком интеграла пишем произведение плотности одночастичных состояний на ту функцию одночастичной энергии, которая стояла под знаком суммы.

Это мнемоническое правило, на самом деле, является общим. Проведя проедуру, аналогичную только что проделанной, можно показать следующее. Пусть есть некоторая функция одночастичной энергии. Тогда

. (39)

Например, свободная энергия идеального ферми-газа дается выражением

. (40)

В данном случае функция . В соответствие с нашим мнемоническим правилом сумму по квантовым числам заменяем интегралом по энергии. Под знаком интеграла пишем произведение плотности одночастичных состояний на функцию , стоящую под знаком суммы

. (41)

В состоянии равновесия число частиц в нашем газе слабо колеблется около своего среднего значения, практически всегда с ним совпадая. В пределах точности термодинамики этими флуктуациями можно пренебречь и считать, что число частиц в газе является постоянным, равным этому среднему значению. В дальнейшем мы будем рассматривать ситуации, когда число частиц в газе известно. В таком случае состояние равновесия нашего газа удобно задавать удобно задавать, указывая температуру , внешние параметры и число частиц , а химический потенциал рассматривать как величину, определяемую уравнением

. (42)

Можно легко показать, что при заданных значениях , и уравнение (42) относительно химического потенциала имеет единственный вещественный корень. Поэтому химический потенциал нашего газа можно рассматривать как однозначную функцию , и .

И. г. Ферми — Дирака отличается от классического тем, что даже при абсолютном нуле температуры его давление и плотность энергии отличны от нуля и тем больше, чем выше плотность газа. При абсолютном нуле температуры существует максимальная (граничная) энергия, которую могут иметь частицы И. г. Ферми — Дирака (так называемая Ферми энергия). Если энергия теплового движения частиц И. г. Ферми — Дирака много меньше энергии Ферми, то его называют вырожденным газом.