Интегралы

1 Задача об объёме, приводящая к понятию двойного интеграла.

Под цилиндром будем понимать часть пространства ограниченного снизу плоской областью Д1, сверху частью поверхности заданной функцией от 2-х переменных. Соответственно области Д. Образющейявляеться прямая || оси ОZ обходящая контур области Д.

Поставим задачу: найти V цилиндра.Напомним что, если цилиндр прямой, кривой, то V=SH

1). Разобьём Д произвольным образом, линиями на части, которые обозначим ΔД1, ΔД2, ΔД3 и ΔДn. Соотв.

этому разбиению получим n «тонких» цилиндров, основаниями которых являются части ΔДi. I=1,2,,n. Площадь каждой части ΔДi обозначим ΔSi.

2) Выберем точки Pi(αi; Bi) eΔДi

3)Vкаждого тонкого цилиндра с основанием ΔДi можно считать равным числу Vi= ΔSi*f(αi;Bi)=f(Pi) ΔSi

4) В качестве точного объёма первоначального цилиндра естественно принять число =

maxdiamΔДi->∞

В дальнейшем сумма вида будет названа интегральной суммой функции от 2-х переменных z=f(x;y). А предел n двойным интегралом функции по области Д.

2 Определение и основные свойства двойного интеграла.

D=f(x;y)

1). Разобьём обл. Д на части ΔД1, ΔД2, ΔД3 и ΔДn.Соотв. площади обозначим ΔS1, ΔS2, ΔS3 и ΔSn.

2) Выбираем точки Pi(αi; Bi)

3) Составим сумму

4) Пусть maxdiamΔДi=λ->0

то он называется 1двойным интегралом функции S и обозначаетьсяDc

.

Отметим что двойным интегралом есть предел суммы. Поэтому двойной интеграл обладает свойствами аналогичными суммам и пределам ( постоянный множитель можно выносить за знак интегралов, двойной интеграл суммы равен сумме двойных интегралов и др.)

Отметим, что если функция f(x;y)непрерывна в некоторой области то для неё i-й интеграл всегда существует, т.е. такая функция интегрируема.

3 Формула равенства двойного и двукратного интегралов.

Пусть Д- правильная ограниченная плоскостью область, определяемая линиями x=a, x=b; y=ϕ1(x); y=ϕ2(x), тогда

=>

Отметим что из теоремы о равенстве двойного и двукратного интегралов видно, что вычисление 2-го интеграла функции от 2-х переменных по правильной замкнутой плоскости Д сводиться к нахождению обычного одинарного интеграла. В результате получиться число.

4 Задача о массе тела приводящая к понятию тройного интеграла

Пусть Т- неоднородное тело, т.е. плотность в различных его точках не одинаковая и является функцией u=f(ρ), ρ (x;y;z) или u=ρ(x;y;z)=f(ρ)

1). Разобьём поверхность Т на частиΔТ1, ΔТ2, ΔТ3 и ΔТn и обозначим соотв. V каждой части разбиения ΔV1, ΔV2, ΔV3 и ΔVn

2) Выберем точкуPi(αi;βi;γi) eΔTi, I=1,2,,n.

3) Составим

По формуле m=pV, является массой приближённой части разбиение ΔTiа масса всего тела м≈

4) maxdiamΔTi=λ->0 => n->∞

В дальнейшем этот интеграл назовётся тройным интегралом

или