14 Плотность распределения вероятностей нсв и её свойства.

Определение 2: Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина -непрерывной случайной величиной, если для любого,

где - интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины .

Теорема 1: Для того чтобы случайная величина была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого

Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.

Свойства плотности распределения:

1)

2) почти всюду.

3) для любых х, являющихся точками непрерывности плотности.

Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.

16 Биномиальное распределение .

Пусть производится n последовательных независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить событие А. Вероятность наступления события А в каждом испытании р, а события A - q = 1 - р. Такая постановка эксперимента носит название схема Бернулли. Обозначим Р(n внизу)(m) = Р (событие А наступило m раз в n испытаниях).

18 Пуассоновское распределение дсв.

Распределение Пуассона Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой, где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона. Распределение Пуассона возникает там, где какие-либо точки (или другие элементы, например, события во времени) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек (элементов), попавших в какую-то область. При этом должны выполняться следующие условия: точки (элементы) распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью лямбда(при этом а = лямбда*D, где D - элемент «пространства», в котором происходят измерения, например, длина отрезка, элемент объема, промежуток времени и т.п.);

точки (элементы) попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

точки появляются поодиночке (т.е. вероятность появления двух точек и больше в одном месте равна нулю).

19 Равномерное распределение нсв.

Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

Найдем значение, которое принимает f(x) при Из условия нормировки следует, что откуда .

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал равна при этом

26 Вычисление и построение эмпирических функций распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: nх - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее x1, n – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Хх/n. Если х будет изменяться, то, вообще говоря, будет, меняться и относительная частота, т.е. относительная частота nх/n есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х

F*(x)=nх/n

где nх – число вариант, меньшее х, n – объем выборки

Таким образом, для того, чтобы найти, например F*(x2), надо число вариант, меньшее x2, разделить на объем выборки n: F*(x2)=nх2/n

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию F(x) распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события Х

Из определения функции F*(x) вытекают следующие ее свойства:

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1]

2. F*(x) - неубывающая функция

3. Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при х?х1; если хk – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при х>хk.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример 5. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты xi 2 6 10

Частоты ni 12 18 30

Решение: Найдем объем выборки: 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x)=0 при x?2. Значение х<6, а именно х1= 2 наблюдалось 12 раз, следовательно, F*(x)=12/60=0.2 при х1=2 и х2=6 наблюдались 12+18=30 раз, следовательно, F*(x)=30/60=0.5 при 6

Так как х=10 – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>10.

Искомая эмпирическая функция: