11. Задачи линейного программирования

60. Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.

61. Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:

62. Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:

III. Задачи

1. Линейное пространство

1. Найдите вектор , если и .

2. Найдите вектор из уравнения , где , .

3. Представьте вектор в виде линейной комбинации векторов , и .

4. Являются ли линейно зависимыми векторы: , , , .

5. Найдите значения параметра , при которых строки заданной матрицы линейно зависимы: .

6. Найдите какой-нибудь базис системы векторов , , , , и все векторы представьте в виде линейной комбинации векторов выбранного базиса.

7. Разложите в базисе, составленном из векторов , , , следующие векторы: , .

8. Найдите координаты вектора в базисе , , , если - его координаты в базисе , , .

2. Системы линейных уравнений

9. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, заданную в матричной форме: .

10. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме .

3. Евклидовы пространства

11. Найдите вектор , который удовлетворяет условиям: , , где и .

12. Вычислите , где , , .

13. Пусть . Найдите вектор , коллинеарный вектору , такой, что .

14. Даны два вектора и . Найдите модули этих векторов и косинус угла между ними.

15. Дополните векторы , До ортогонального базиса пространства .

16. Дополните векторы , до ортогонального базиса пространства , и найдите в нем координаты вектора .

17. Найдите координаты вектора в ортогональном базисе , , пространства .

4. Матрицы и определители

18. Найдите матрицу , если , где , .

19. Решите систему матричных уравнений: .

20. Из системы строк заданной матрицы выделите максимальную линейно независимую подсистему и представьте остальные строки в виде линейных комбинаций выделенных:

.

21. Из системы столбцов заданной матрицы выделите максимальную линейно независимую подсистему и представьте остальные строки в виде линейных комбинаций выделенных:

.

22. Вычислите , где , .

23. Вычислите , где .

24. Вычислите степень матрицы .

25. Вычислите степень матрицы .

26. Найдите матрицу, обратную к матрице , если .

27. Решите матричное уравнение .

28. Решите матричное уравнение .

29. Вычислите определитель матрицы .

30. Найдите определитель матрицы , если

.

31. Решите систему уравнений с помощью правила Крамера .

5. Линейные преобразования пространства

32. Линейный оператор действует в пространстве . Известно, что , а . Найдите образ .

33. Линейный оператор действует в пространстве . Известно, что , а . Найдите образ .

34. В пространстве строк действует линейное преобразование по правилу: . Напишите матрицу этого линейного преобразования в каноническом базисе.

35. Найдите собственные значения матрицы , если .

36. Найдите собственные значения матрицы .

37. Найдите собственные векторы матрицы , если известно, что она имеет следующие собственные значения: , .

38. Найдите число и вектор Фробениуса матрицы .