5. Комплексные числа

25. Дайте определение и приведите пример комплексно-сопряженных чисел. Докажите, что для комплексных чисел , справедливы равенства: а) , б) .

26. Изобразите на плоскости комплексные числа , , и .

27. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа и укажите способ их нахождения.

28. Запишите в тригонометрической форме числа , .

29. Найдите модуль комплексного числа .

30. Найдите аргумент числа .

31. Используя формулу Муавра, вычислите .

32. Докажите, что корень пятой степени из единицы имеет пять комплексных значений. Как эти значения располагаются на плоскости?

33. Сформулируйте основную теорему алгебры комплексных чисел.

34. Может ли квадратное уравнение в области комплексных чисел: а) не иметь корней; б) иметь более двух корней? Ответ обоснуйте.

35. Решите уравнение в области комплексных чисел: а) ; б) ; в) .

36. Многочлен степени 4 с действительными коэффициентами имеет корень . Докажите, что корнем этого многочлена является число .

6. Линейные операторы в пространстве

37. Дайте определение матрицы линейного оператора в данном базисе. Приведите пример.

38. Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите пример.

39. Могут ли все собственные значения ненулевой матрицы быть равными 0? Ответ обоснуйте для квадратных матриц порядка .

40. Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы порядка , отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

41. Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.

42. Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.

7. Квадратичные формы

43. Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы: а) ; б) .

44. Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.

45. Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.

46. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.

47. Запишите квадратичную форму по ее матрице . Можно ли форму привести линейным преобразованием переменных к виду ?

48. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.

8. Прямые и плоскости в точечном пространстве

49. Выведите канонические уравнения прямой в , проходящей через данные точки и .

50. Выведите уравнение прямой в , проходящей через данную точку в данном направлении .

51. Выведите уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ..

52. Выведите уравнение плоскости в , проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору . Приведите пример уравнения плоскости в , проходящей параллельно какой-либо координатной оси.

53. Две прямые заданы каноническими уравнениями и . Найдите угол между ними. Ответ обоснуйте.

54. Как найти угол между плоскостями в по их общим уравнениям , ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

55. Как найти угол между прямой и плоскостью в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

56. Как найти расстояние от точки до прямой ? Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми в ?

57. Как найти расстояние от точки до плоскости ? Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями в ?

58. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые и . Ответ обоснуйте.

59. Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.