8. Линейное программирование

1. Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая формы записи задач линейного программирования.

2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.

3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования^*. Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса. Метод искусственного базиса.

4. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности.

II. Теоретические вопросы

1. Линейные пространства

1. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.

2. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.

3. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.

4. Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

5. Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.

6. Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.

7. Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.

2. Системы линейных уравнений

8. Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?

9. Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.

10. Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.

11. Найдите фундаментальный набор решений системы:

3. Евклидовы пространства

12. Дайте определение скалярного произведения в пространстве . Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.

13. Дайте определение ортонормированной системы векторов в . Приведите пример ортонормированной системы в .

14. Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.

4. Матрицы и определители

15. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц порядка рангов 1, 2 и 3.

16. Дайте определение произведения матриц и . Приведите пример, когда определено, а - нет. Существуют ли ненулевые квадратные матрицы и такие, что ? Ответ обоснуйте.

17. Укажите, какие из равенств не выполняются для любых матриц порядка : а) ; б) ; в) ; г) . Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

18. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка . Приведите примеры таких матриц.

19. Сформулируйте основные свойства определителей, связанные с элементарными преобразованиями строк.

20. Напишите разложение определителя по второй строке.

21. Проверьте справедливость свойства для матриц , .

22. Приведите формулу для вычисления обратной матрицы для матрицы порядка 3. С помощью этой формулы найдите .

23. Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений . Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.

24. Проиллюстрируйте применение правила Крамера для решения системы уравнений