Міністерство освіти і науки України

Полтавський будівельний технікум

Транспортного будівництва

Математика

опорний конспект лекцій для студентів

денної та заочної форм навчання

Спеціальність 5.090239

Викладач – методист Г.О. Тютюнник

м. Полтава

Математика

опорний конспект лекцій

спеціальність 5.090239 «Експлуатація і ремонт підйомно – транспортних, будівельних, дорожніх машин і обладнання».

Полтава 2004р.

Зміст
Тема № 1. Функції, їх властивості та графіка	2
Тема № 2. Тригонометричні функції числового аргументу	19
Тема № 3. Степенева, показникові та логарифмічна функції їх властивості та графіки	27
Тема № 4. Похідна та її застосування	33
Тема № 5. Прямі та площини в просторі	41
Тема № 6. Вектори та координати	46
Тема № 7. Інтеграл та його застосування	57
Тема № 8, 9. Многогранники. Тіла обертання. Поверхневі та об’єм тіл	64
Деякі відомості з планіметрії	72
Тема № 10. Теорія імовірності	76

Тема № 1

Функції, їх властивості та

графіки

1. Похибки наближених значень чисел.

2. Дійсні числа.

3. Поняття функції. Властивості.

4. Графіки функцій.

5. Приріст аргументу і приріст функції. Геометрична інтерпретація.

6. Границя функції в точці і на нескінченності.

7. Основні властивості границі функції.

8. Неперервність функції в точці і на проміжку. Властивості неперервних функцій.

9. Застосування неперервності функції до наближених методів розв’язування рівнянь f(х) = 0.

10. Комплексні числа.

1. Похибки наближених значень чисел

1. Абсолютна похибка наближеного

значення числа. Границя абсолютної похибки.

Модуль між точним числом х і його наближеним значенням а називається абсолютною похибкою наближеного числа х і позначається через , тобто

Число а називається наближеним значенням точного числа х з точністю до Δа, якщо абсолютна похибка наближеного значення а не перевищує Δа, тобто .

Число Δа називається границею абсолютної похибки наближеного числа а. .

Приклад 1. Довжина деталі знаходиться в межах 33< х < 34. Знайти границю абсолютної похибки.

За наближене значення довжини виберемо середнє арифметичне 33,5 (см). Тоді границя абсолютної похибки не перевищує 0,5 (см). Значить х = 33,5 ± 0,5.

Приклад 2. Амперметр дає точність ± 0,02 А. Сила струму 10,63 А. Вкажіть межі цього числа.

2. Вірні та значущі цифри числа.

Цифра m наближеного числа а називається вірною, якщо границя абсолютної похибки не перевищує половини одиниці того розряду, в якому записана цифра m.

Значущими цифрами наближеного числа називаються всі його вірні цифри, окрім нулів, які стоять перед першою цифрою, відмінною від нуля.

3. Округлення числа.

При округлені числа а його заміняють числом а₁ з меншою кількістю значущих цифр. При округленні до m "значущих цифр" відкидають всі цифри, які стоять праворуч m-ої значущої цифри. Якщо перша зліва із відкинутих цифр більша або дорівнює 5, то останню цифру, яку залишають збільшують на 1.

Приклад: Вкажіть вірні цифри:

4. Відносна похибка наближеного значення числа.

Відносною похибкою наближеного значення числа а називається відношення абсолютної похибки α цього наближення

до числа а, тобто

На практиці оцінюють модуль відносної похибки число Е, для якого . Число Е називається границею відносної похибки

і визначається:

Залежність відносної похибки від числа значущих цифр приведена в таблиці 1.

Число	Най -	Найбі -	Границя абсолютної	Відносна похибка найменшого числа	Відносна похибка найбільшого числа
Однозначне	1	9	0,5	0,5 = 50%	0,056 = 5,6%
Двозначне	10	99	0,5	0,05 = 5%	0,005 = 0,5%
Тризначне	100	999	0,5	0,005 = 0,5%	0,0005 = 0,05%
Чотиризначне	1000	9999	0,5	0,0005 = 0,05%	0,00005 = 0,005%

Із таблиці видно, що три вірні значущі цифри забезпечують точність результатів від 0,005 до 0,5%. В технічних розрахунках прийнято виконувати обчислення з трьома значущими цифрами. Границю абсолютної похибки знаходять по даній відносній похибці і модуль наближеного значення величини

Приклад 1.

Знайти відносну похибку числа 6,8, якщо обидві цифри вірні.

По умові , а тому

Приклад 2.

Які цифри числа 4,83 (0,3%) вірні?

Вірні цифри 4,8